Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81825 / 16289
↖ ↑ ↗
← N 79.220246°
E 44.739075°		 ← 57.11 m → N 79.220246°
E 44.741821°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.219732°
E 44.739075°		 ← 57.12 m →
3 264 m²		 N 79.219732°
E 44.741821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624279022216797 y=0.124279022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624279022216797 × 217)
    floor (0.624279022216797 × 131072)
    floor (81825.5)     		tx = 81825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124279022216797 × 217)
    floor (0.124279022216797 × 131072)
    floor (16289.5)     		ty = 16289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81825 / 16289 ti = "17/81825/16289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81825/16289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81825 ÷ 217
    81825 ÷ 131072     		x = 0.624275207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16289 ÷ 217
    16289 ÷ 131072     		y = 0.124275207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624275207519531 × 2 - 1) × π
    0.248550415039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.78084416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124275207519531 × 2 - 1) × π
    0.751449584960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.36074849558891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78084416} λ = 0.78084416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36074849558891))-π/2
    2×atan(10.5988817003858)-π/2
    2×1.47672522610687-π/2
    2.95345045221374-1.57079632675     		φ = 1.38265413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78084416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.739075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38265413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.220246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81825 KachelY 16289 0.78084416 1.38265413 44.739075 79.220246
    Oben rechts KachelX + 1 81826 KachelY 16289 0.78089209 1.38265413 44.741821 79.220246
    Unten links KachelX 81825 KachelY + 1 16290 0.78084416 1.38264516 44.739075 79.219732
    Unten rechts KachelX + 1 81826 KachelY + 1 16290 0.78089209 1.38264516 44.741821 79.219732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38265413-1.38264516) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dl = 57.1478699992738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38265413-1.38264516) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dr = 57.1478699992738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78084416-0.78089209) × cos(1.38265413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187034199493729 × 6371000     		do = 57.1131428368652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78084416-0.78089209) × cos(1.38264516) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.187043011196229 × 6371000     		du = 57.1158335962281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38265413)-sin(1.38264516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187034199493729-0.187043011196229)×R²
    abs(0.78089209-0.78084416)×8.81170249944496e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.81170249944496e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.81170249944496e-06×40589641000000     		ar = 3263.97134783676m²