Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81822 / 17199
↖ ↑ ↗
← N 78.742619°
E 44.730835°		 ← 59.61 m → N 78.742619°
E 44.733581°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.742083°
E 44.730835°		 ← 59.61 m →
3 555 m²		 N 78.742083°
E 44.733581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624256134033203 y=0.131221771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624256134033203 × 217)
    floor (0.624256134033203 × 131072)
    floor (81822.5)     		tx = 81822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131221771240234 × 217)
    floor (0.131221771240234 × 131072)
    floor (17199.5)     		ty = 17199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81822 / 17199 ti = "17/81822/17199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81822/17199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81822 ÷ 217
    81822 ÷ 131072     		x = 0.624252319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17199 ÷ 217
    17199 ÷ 131072     		y = 0.131217956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624252319335938 × 2 - 1) × π
    0.248504638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78070035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131217956542969 × 2 - 1) × π
    0.737564086914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.31712591693465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78070035} λ = 0.78070035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31712591693465))-π/2
    2×atan(10.1464705599706)-π/2
    2×1.47255714662152-π/2
    2.94511429324304-1.57079632675     		φ = 1.37431797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78070035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.730835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37431797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.742619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81822 KachelY 17199 0.78070035 1.37431797 44.730835 78.742619
    Oben rechts KachelX + 1 81823 KachelY 17199 0.78074828 1.37431797 44.733581 78.742619
    Unten links KachelX 81822 KachelY + 1 17200 0.78070035 1.37430861 44.730835 78.742083
    Unten rechts KachelX + 1 81823 KachelY + 1 17200 0.78074828 1.37430861 44.733581 78.742083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37431797-1.37430861) × R
    9.36000000018034e-06 × 6371000     		dl = 59.6325600011489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37431797-1.37430861) × R
    9.36000000018034e-06 × 6371000     		dr = 59.6325600011489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78070035-0.78074828) × cos(1.37431797) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.19521666118042 × 6371000     		do = 59.6117559477736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78070035-0.78074828) × cos(1.37430861) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.195225841086793 × 6371000     		du = 59.614559142619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37431797)-sin(1.37430861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19521666118042-0.195225841086793)×R²
    abs(0.78074828-0.78070035)×9.17990637325228e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.17990637325228e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.17990637325228e-06×40589641000000     		ar = 3554.88519426292m²