Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81821 / 17202
↖ ↑ ↗
← N 78.741011°
E 44.728088°		 ← 59.63 m → N 78.741011°
E 44.730835°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.740474°
E 44.728088°		 ← 59.64 m →
3 556 m²		 N 78.740474°
E 44.730835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624248504638672 y=0.131244659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624248504638672 × 217)
    floor (0.624248504638672 × 131072)
    floor (81821.5)     		tx = 81821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131244659423828 × 217)
    floor (0.131244659423828 × 131072)
    floor (17202.5)     		ty = 17202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81821 / 17202 ti = "17/81821/17202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81821/17202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81821 ÷ 217
    81821 ÷ 131072     		x = 0.624244689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17202 ÷ 217
    17202 ÷ 131072     		y = 0.131240844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624244689941406 × 2 - 1) × π
    0.248489379882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.78065241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131240844726562 × 2 - 1) × π
    0.737518310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31698210623579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78065241} λ = 0.78065241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31698210623579))-π/2
    2×atan(10.1450114938656)-π/2
    2×1.47254310850907-π/2
    2.94508621701813-1.57079632675     		φ = 1.37428989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78065241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.728088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37428989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.741011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81821 KachelY 17202 0.78065241 1.37428989 44.728088 78.741011
    Oben rechts KachelX + 1 81822 KachelY 17202 0.78070035 1.37428989 44.730835 78.741011
    Unten links KachelX 81821 KachelY + 1 17203 0.78065241 1.37428053 44.728088 78.740474
    Unten rechts KachelX + 1 81822 KachelY + 1 17203 0.78070035 1.37428053 44.730835 78.740474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37428989-1.37428053) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dl = 59.6325599997343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37428989-1.37428053) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dr = 59.6325599997343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78065241-0.78070035) × cos(1.37428989) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.195244200848228 × 6371000     		do = 59.6326045248775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78065241-0.78070035) × cos(1.37428053) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.195253380703287 × 6371000     		du = 59.6354082889022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37428989)-sin(1.37428053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195244200848228-0.195253380703287)×R²
    abs(0.78070035-0.78065241)×9.17985505966001e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.17985505966001e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.17985505966001e-06×40589641000000     		ar = 3556.12846499651m²