Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81818 / 17226
↖ ↑ ↗
← N 78.728133°
E 44.719849°		 ← 59.70 m → N 78.728133°
E 44.722595°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.727596°
E 44.719849°		 ← 59.70 m →
3 564 m²		 N 78.727596°
E 44.722595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624225616455078 y=0.131427764892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624225616455078 × 217)
    floor (0.624225616455078 × 131072)
    floor (81818.5)     		tx = 81818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131427764892578 × 217)
    floor (0.131427764892578 × 131072)
    floor (17226.5)     		ty = 17226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81818 / 17226 ti = "17/81818/17226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81818/17226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81818 ÷ 217
    81818 ÷ 131072     		x = 0.624221801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17226 ÷ 217
    17226 ÷ 131072     		y = 0.131423950195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624221801757812 × 2 - 1) × π
    0.248443603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78050860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131423950195312 × 2 - 1) × π
    0.737152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31583162064491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78050860} λ = 0.78050860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31583162064491))-π/2
    2×atan(10.1333465158038)-π/2
    2×1.47243073230266-π/2
    2.94486146460531-1.57079632675     		φ = 1.37406514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78050860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.719849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37406514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.728133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81818 KachelY 17226 0.78050860 1.37406514 44.719849 78.728133
    Oben rechts KachelX + 1 81819 KachelY 17226 0.78055654 1.37406514 44.722595 78.728133
    Unten links KachelX 81818 KachelY + 1 17227 0.78050860 1.37405577 44.719849 78.727596
    Unten rechts KachelX + 1 81819 KachelY + 1 17227 0.78055654 1.37405577 44.722595 78.727596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37406514-1.37405577) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dl = 59.6962699993471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37406514-1.37405577) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dr = 59.6962699993471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78050860-0.78055654) × cos(1.37406514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195464620524941 × 6371000     		do = 59.6999263676102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78050860-0.78055654) × cos(1.37405577) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195473809776121 × 6371000     		du = 59.7027330014519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37406514)-sin(1.37405577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195464620524941-0.195473809776121)×R²
    abs(0.78055654-0.78050860)×9.18925117990299e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.18925117990299e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.18925117990299e-06×40589641000000     		ar = 3563.94669625028m²