Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81818 / 17222
↖ ↑ ↗
← N 78.730280°
E 44.719849°		 ← 59.69 m → N 78.730280°
E 44.722595°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.729744°
E 44.719849°		 ← 59.69 m →
3 559 m²		 N 78.729744°
E 44.722595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624225616455078 y=0.131397247314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624225616455078 × 217)
    floor (0.624225616455078 × 131072)
    floor (81818.5)     		tx = 81818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131397247314453 × 217)
    floor (0.131397247314453 × 131072)
    floor (17222.5)     		ty = 17222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81818 / 17222 ti = "17/81818/17222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81818/17222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81818 ÷ 217
    81818 ÷ 131072     		x = 0.624221801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17222 ÷ 217
    17222 ÷ 131072     		y = 0.131393432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624221801757812 × 2 - 1) × π
    0.248443603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78050860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131393432617188 × 2 - 1) × π
    0.737213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31602336824339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78050860} λ = 0.78050860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31602336824339))-π/2
    2×atan(10.1352897469618)-π/2
    2×1.47244947047674-π/2
    2.94489894095348-1.57079632675     		φ = 1.37410261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78050860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.719849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37410261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.730280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81818 KachelY 17222 0.78050860 1.37410261 44.719849 78.730280
    Oben rechts KachelX + 1 81819 KachelY 17222 0.78055654 1.37410261 44.722595 78.730280
    Unten links KachelX 81818 KachelY + 1 17223 0.78050860 1.37409325 44.719849 78.729744
    Unten rechts KachelX + 1 81819 KachelY + 1 17223 0.78055654 1.37409325 44.722595 78.729744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37410261-1.37409325) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dl = 59.6325599997343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37410261-1.37409325) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dr = 59.6325599997343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78050860-0.78055654) × cos(1.37410261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195427873155798 × 6371000     		do = 59.6887027751966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78050860-0.78055654) × cos(1.37409325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195437052668437 × 6371000     		du = 59.6915064346372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37410261)-sin(1.37409325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195427873155798-0.195437052668437)×R²
    abs(0.78055654-0.78050860)×9.17951263909589e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17951263909589e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17951263909589e-06×40589641000000     		ar = 3559.4737442603m²