Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81817 / 20008
↖ ↑ ↗
← N 77.132720°
E 44.717102°		 ← 68.02 m → N 77.132720°
E 44.719849°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.132108°
E 44.717102°		 ← 68.02 m →
4 628 m²		 N 77.132108°
E 44.719849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624217987060547 y=0.152652740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624217987060547 × 217)
    floor (0.624217987060547 × 131072)
    floor (81817.5)     		tx = 81817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152652740478516 × 217)
    floor (0.152652740478516 × 131072)
    floor (20008.5)     		ty = 20008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81817 / 20008 ti = "17/81817/20008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81817/20008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81817 ÷ 217
    81817 ÷ 131072     		x = 0.624214172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20008 ÷ 217
    20008 ÷ 131072     		y = 0.15264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624214172363281 × 2 - 1) × π
    0.248428344726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.78046066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15264892578125 × 2 - 1) × π
    0.6947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18247116590192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78046066} λ = 0.78046066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18247116590192))-π/2
    2×atan(8.86819398206474)-π/2
    2×1.45850812193506-π/2
    2.91701624387012-1.57079632675     		φ = 1.34621992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78046066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.717102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34621992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.132720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81817 KachelY 20008 0.78046066 1.34621992 44.717102 77.132720
    Oben rechts KachelX + 1 81818 KachelY 20008 0.78050860 1.34621992 44.719849 77.132720
    Unten links KachelX 81817 KachelY + 1 20009 0.78046066 1.34620924 44.717102 77.132108
    Unten rechts KachelX + 1 81818 KachelY + 1 20009 0.78050860 1.34620924 44.719849 77.132108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34621992-1.34620924) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dl = 68.0422799995517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34621992-1.34620924) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dr = 68.0422799995517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78046066-0.78050860) × cos(1.34621992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222693425967843 × 6371000     		do = 68.0163044193192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78046066-0.78050860) × cos(1.34620924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.2227038377646 × 6371000     		du = 68.0194844500482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34621992)-sin(1.34620924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222693425967843-0.2227038377646)×R²
    abs(0.78050860-0.78046066)×1.04117967563988e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04117967563988e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04117967563988e-05×40589641000000     		ar = 4628.09261804073m²