Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81817 / 17223
↖ ↑ ↗
← N 78.729744°
E 44.717102°		 ← 59.69 m → N 78.729744°
E 44.719849°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.729207°
E 44.717102°		 ← 59.69 m →
3 563 m²		 N 78.729207°
E 44.719849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624217987060547 y=0.131404876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624217987060547 × 217)
    floor (0.624217987060547 × 131072)
    floor (81817.5)     		tx = 81817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131404876708984 × 217)
    floor (0.131404876708984 × 131072)
    floor (17223.5)     		ty = 17223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81817 / 17223 ti = "17/81817/17223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81817/17223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81817 ÷ 217
    81817 ÷ 131072     		x = 0.624214172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17223 ÷ 217
    17223 ÷ 131072     		y = 0.131401062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624214172363281 × 2 - 1) × π
    0.248428344726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.78046066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131401062011719 × 2 - 1) × π
    0.737197875976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.31597543134377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78046066} λ = 0.78046066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31597543134377))-π/2
    2×atan(10.1348039042396)-π/2
    2×1.47244478626356-π/2
    2.94488957252713-1.57079632675     		φ = 1.37409325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78046066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.717102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37409325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.729744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81817 KachelY 17223 0.78046066 1.37409325 44.717102 78.729744
    Oben rechts KachelX + 1 81818 KachelY 17223 0.78050860 1.37409325 44.719849 78.729744
    Unten links KachelX 81817 KachelY + 1 17224 0.78046066 1.37408388 44.717102 78.729207
    Unten rechts KachelX + 1 81818 KachelY + 1 17224 0.78050860 1.37408388 44.719849 78.729207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37409325-1.37408388) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dl = 59.6962700007617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37409325-1.37408388) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dr = 59.6962700007617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78046066-0.78050860) × cos(1.37409325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195437052668437 × 6371000     		do = 59.6915064346372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78046066-0.78050860) × cos(1.37408388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195446241971098 × 6371000     		du = 59.6943130842026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37409325)-sin(1.37408388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195437052668437-0.195446241971098)×R²
    abs(0.78050860-0.78046066)×9.18930266127771e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.18930266127771e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.18930266127771e-06×40589641000000     		ar = 3563.44405808683m²