Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81816 / 17208
↖ ↑ ↗
← N 78.737793°
E 44.714356°		 ← 59.64 m → N 78.737793°
E 44.717102°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.737256°
E 44.714356°		 ← 59.64 m →
3 560 m²		 N 78.737256°
E 44.717102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624210357666016 y=0.131290435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624210357666016 × 217)
    floor (0.624210357666016 × 131072)
    floor (81816.5)     		tx = 81816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131290435791016 × 217)
    floor (0.131290435791016 × 131072)
    floor (17208.5)     		ty = 17208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81816 / 17208 ti = "17/81816/17208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81816/17208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81816 ÷ 217
    81816 ÷ 131072     		x = 0.62420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17208 ÷ 217
    17208 ÷ 131072     		y = 0.13128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62420654296875 × 2 - 1) × π
    0.2484130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78041273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13128662109375 × 2 - 1) × π
    0.7374267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31669448483807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78041273} λ = 0.78041273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31669448483807))-π/2
    2×atan(10.1420939910681)-π/2
    2×1.47251502634353-π/2
    2.94503005268707-1.57079632675     		φ = 1.37423373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78041273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.714356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37423373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.737793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81816 KachelY 17208 0.78041273 1.37423373 44.714356 78.737793
    Oben rechts KachelX + 1 81817 KachelY 17208 0.78046066 1.37423373 44.717102 78.737793
    Unten links KachelX 81816 KachelY + 1 17209 0.78041273 1.37422436 44.714356 78.737256
    Unten rechts KachelX + 1 81817 KachelY + 1 17209 0.78046066 1.37422436 44.717102 78.737256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37423373-1.37422436) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dl = 59.6962700007617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37423373-1.37422436) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dr = 59.6962700007617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78041273-0.78046066) × cos(1.37423373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195299279721979 × 6371000     		do = 59.6369845134777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78041273-0.78046066) × cos(1.37422436) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195308469281809 × 6371000     		du = 59.6397906561222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37423373)-sin(1.37422436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195299279721979-0.195308469281809)×R²
    abs(0.78046066-0.78041273)×9.18955982998071e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.18955982998071e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.18955982998071e-06×40589641000000     		ar = 3560.18928773225m²