Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81812 / 17220
↖ ↑ ↗
← N 78.731354°
E 44.703369°		 ← 59.68 m → N 78.731354°
E 44.706116°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.730817°
E 44.703369°		 ← 59.69 m →
3 563 m²		 N 78.730817°
E 44.706116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624179840087891 y=0.131381988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624179840087891 × 217)
    floor (0.624179840087891 × 131072)
    floor (81812.5)     		tx = 81812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131381988525391 × 217)
    floor (0.131381988525391 × 131072)
    floor (17220.5)     		ty = 17220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81812 / 17220 ti = "17/81812/17220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81812/17220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81812 ÷ 217
    81812 ÷ 131072     		x = 0.624176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17220 ÷ 217
    17220 ÷ 131072     		y = 0.131378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624176025390625 × 2 - 1) × π
    0.24835205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78022098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131378173828125 × 2 - 1) × π
    0.73724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31611924204263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78022098} λ = 0.78022098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31611924204263))-π/2
    2×atan(10.1362615022784)-π/2
    2×1.47245883824247-π/2
    2.94491767648495-1.57079632675     		φ = 1.37412135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78022098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.703369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37412135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.731354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81812 KachelY 17220 0.78022098 1.37412135 44.703369 78.731354
    Oben rechts KachelX + 1 81813 KachelY 17220 0.78026892 1.37412135 44.706116 78.731354
    Unten links KachelX 81812 KachelY + 1 17221 0.78022098 1.37411198 44.703369 78.730817
    Unten rechts KachelX + 1 81813 KachelY + 1 17221 0.78026892 1.37411198 44.706116 78.730817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37412135-1.37411198) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dl = 59.6962700007617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37412135-1.37411198) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dr = 59.6962700007617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78022098-0.78026892) × cos(1.37412135) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.195409494464722 × 6371000     		do = 59.6830894500126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78022098-0.78026892) × cos(1.37411198) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.195418683818839 × 6371000     		du = 59.6858961152939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37412135)-sin(1.37411198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195409494464722-0.195418683818839)×R²
    abs(0.78026892-0.78022098)×9.18935411683974e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.18935411683974e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.18935411683974e-06×40589641000000     		ar = 3562.9415959999m²