Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81811 / 17230
↖ ↑ ↗
← N 78.725985°
E 44.700622°		 ← 59.71 m → N 78.725985°
E 44.703369°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.725448°
E 44.700622°		 ← 59.71 m →
3 565 m²		 N 78.725448°
E 44.703369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624172210693359 y=0.131458282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624172210693359 × 217)
    floor (0.624172210693359 × 131072)
    floor (81811.5)     		tx = 81811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131458282470703 × 217)
    floor (0.131458282470703 × 131072)
    floor (17230.5)     		ty = 17230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81811 / 17230 ti = "17/81811/17230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81811/17230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81811 ÷ 217
    81811 ÷ 131072     		x = 0.624168395996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17230 ÷ 217
    17230 ÷ 131072     		y = 0.131454467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624168395996094 × 2 - 1) × π
    0.248336791992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.78017304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131454467773438 × 2 - 1) × π
    0.737091064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31563987304643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78017304} λ = 0.78017304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31563987304643))-π/2
    2×atan(10.13140365722)-π/2
    2×1.47241199060454-π/2
    2.94482398120909-1.57079632675     		φ = 1.37402765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78017304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.700622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37402765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.725985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81811 KachelY 17230 0.78017304 1.37402765 44.700622 78.725985
    Oben rechts KachelX + 1 81812 KachelY 17230 0.78022098 1.37402765 44.703369 78.725985
    Unten links KachelX 81811 KachelY + 1 17231 0.78017304 1.37401828 44.700622 78.725448
    Unten rechts KachelX + 1 81812 KachelY + 1 17231 0.78022098 1.37401828 44.703369 78.725448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37402765-1.37401828) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dl = 59.6962699993471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37402765-1.37401828) × R
    9.36999999989752e-06 × 6371000     		dr = 59.6962699993471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78017304-0.78022098) × cos(1.37402765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19550138723372 × 6371000     		do = 59.7111558668464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78017304-0.78022098) × cos(1.37401828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195510576416229 × 6371000     		du = 59.7139624797141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37402765)-sin(1.37401828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19550138723372-0.195510576416229)×R²
    abs(0.78022098-0.78017304)×9.18918250877865e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.18918250877865e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.18918250877865e-06×40589641000000     		ar = 3564.61705488021m²