Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81803 / 17231
↖ ↑ ↗
← N 78.725448°
E 44.678650°		 ← 59.70 m → N 78.725448°
E 44.681396°		 →
↑
59.70 m
↓
↑
59.70 m
↓
N 78.724912°
E 44.678650°		 ← 59.70 m →
3 564 m²		 N 78.724912°
E 44.681396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624111175537109 y=0.131465911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624111175537109 × 217)
    floor (0.624111175537109 × 131072)
    floor (81803.5)     		tx = 81803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131465911865234 × 217)
    floor (0.131465911865234 × 131072)
    floor (17231.5)     		ty = 17231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81803 / 17231 ti = "17/81803/17231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81803/17231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81803 ÷ 217
    81803 ÷ 131072     		x = 0.624107360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17231 ÷ 217
    17231 ÷ 131072     		y = 0.131462097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624107360839844 × 2 - 1) × π
    0.248214721679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.77978955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131462097167969 × 2 - 1) × π
    0.737075805664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.31559193614681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77978955} λ = 0.77978955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31559193614681))-π/2
    2×atan(10.1309180007804)-π/2
    2×1.47240730462931-π/2
    2.94481460925863-1.57079632675     		φ = 1.37401828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77978955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.678650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37401828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.725448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81803 KachelY 17231 0.77978955 1.37401828 44.678650 78.725448
    Oben rechts KachelX + 1 81804 KachelY 17231 0.77983748 1.37401828 44.681396 78.725448
    Unten links KachelX 81803 KachelY + 1 17232 0.77978955 1.37400891 44.678650 78.724912
    Unten rechts KachelX + 1 81804 KachelY + 1 17232 0.77983748 1.37400891 44.681396 78.724912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37401828-1.37400891) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dl = 59.6962700007617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37401828-1.37400891) × R
    9.37000000011956e-06 × 6371000     		dr = 59.6962700007617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77978955-0.77983748) × cos(1.37401828) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.195510576416229 × 6371000     		do = 59.7015065008281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77978955-0.77983748) × cos(1.37400891) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.195519765581573 × 6371000     		du = 59.7043125230114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37401828)-sin(1.37400891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195510576416229-0.195519765581573)×R²
    abs(0.77983748-0.77978955)×9.18916534375924e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.18916534375924e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.18916534375924e-06×40589641000000     		ar = 3564.04100610933m²