Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81800 / 19879
↖ ↑ ↗
← N 77.211385°
E 44.670410°		 ← 67.59 m → N 77.211385°
E 44.673157°		 →
↑
67.60 m
↓
↑
67.60 m
↓
N 77.210777°
E 44.670410°		 ← 67.60 m →
4 569 m²		 N 77.210777°
E 44.673157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624088287353516 y=0.151668548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624088287353516 × 217)
    floor (0.624088287353516 × 131072)
    floor (81800.5)     		tx = 81800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151668548583984 × 217)
    floor (0.151668548583984 × 131072)
    floor (19879.5)     		ty = 19879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81800 / 19879 ti = "17/81800/19879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81800/19879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81800 ÷ 217
    81800 ÷ 131072     		x = 0.62408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19879 ÷ 217
    19879 ÷ 131072     		y = 0.151664733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62408447265625 × 2 - 1) × π
    0.2481689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77964574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151664733886719 × 2 - 1) × π
    0.696670532226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.1886550259529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77964574} λ = 0.77964574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1886550259529))-π/2
    2×atan(8.92320356303225)-π/2
    2×1.45919460288767-π/2
    2.91838920577534-1.57079632675     		φ = 1.34759288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77964574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.670410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34759288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.211385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81800 KachelY 19879 0.77964574 1.34759288 44.670410 77.211385
    Oben rechts KachelX + 1 81801 KachelY 19879 0.77969367 1.34759288 44.673157 77.211385
    Unten links KachelX 81800 KachelY + 1 19880 0.77964574 1.34758227 44.670410 77.210777
    Unten rechts KachelX + 1 81801 KachelY + 1 19880 0.77969367 1.34758227 44.673157 77.210777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34759288-1.34758227) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dl = 67.5963100008474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34759288-1.34758227) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dr = 67.5963100008474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77964574-0.77969367) × cos(1.34759288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22135473354711 × 6371000     		do = 67.593330786096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77964574-0.77969367) × cos(1.34758227) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22136508033616 × 6371000     		du = 67.5964903026042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34759288)-sin(1.34758227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22135473354711-0.22136508033616)×R²
    abs(0.77969367-0.77964574)×1.03467890498199e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03467890498199e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03467890498199e-05×40589641000000     		ar = 4569.16652767942m²