Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 818 / 409
↖ ↑ ↗
← N 34.016242°
E107.578125°		 ← 32.403 km → N 34.016242°
E107.929688°		 →
↑
32.458 km
↓
↑
32.458 km
↓
N 33.724340°
E107.578125°		 ← 32.514 km →
1 053.53 km²		 N 33.724340°
E107.929688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.79931640625 y=0.39990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.79931640625 × 210)
    floor (0.79931640625 × 1024)
    floor (818.5)     		tx = 818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.39990234375 × 210)
    floor (0.39990234375 × 1024)
    floor (409.5)     		ty = 409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 818 / 409 ti = "10/818/409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/818/409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 818 ÷ 210
    818 ÷ 1024     		x = 0.798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 409 ÷ 210
    409 ÷ 1024     		y = 0.3994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798828125 × 2 - 1) × π
    0.59765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87759248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3994140625 × 2 - 1) × π
    0.201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.63200008459082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87759248} λ = 1.87759248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.63200008459082))-π/2
    2×atan(1.88136971729536)-π/2
    2×1.08224587345472-π/2
    2.16449174690943-1.57079632675     		φ = 0.59369542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87759248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59369542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.016242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 818 KachelY 409 1.87759248 0.59369542 107.578125 34.016242
    Oben rechts KachelX + 1 819 KachelY 409 1.88372841 0.59369542 107.929688 34.016242
    Unten links KachelX 818 KachelY + 1 410 1.87759248 0.58860077 107.578125 33.724340
    Unten rechts KachelX + 1 819 KachelY + 1 410 1.88372841 0.58860077 107.929688 33.724340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59369542-0.58860077) × R
    0.00509464999999998 × 6371000     		dl = 32458.0151499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59369542-0.58860077) × R
    0.00509464999999998 × 6371000     		dr = 32458.0151499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87759248-1.88372841) × cos(0.59369542) × R
    0.00613593000000012 × 0.828879022418254 × 6371000     		do = 32402.5470580316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87759248-1.88372841) × cos(0.58860077) × R
    0.00613593000000012 × 0.831718342454006 × 6371000     		du = 32513.5417853476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59369542)-sin(0.58860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828879022418254-0.831718342454006)×R²
    abs(1.88372841-1.87759248)×0.00283932003575182×R²
    0.00613593000000012×0.00283932003575182×6371000²
    0.00613593000000012×0.00283932003575182×40589641000000     		ar = 1053525976.30872m²