Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81789 / 19854
↖ ↑ ↗
← N 77.226575°
E 44.640198°		 ← 67.53 m → N 77.226575°
E 44.642945°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.225967°
E 44.640198°		 ← 67.53 m →
4 560 m²		 N 77.225967°
E 44.642945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624004364013672 y=0.151477813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624004364013672 × 217)
    floor (0.624004364013672 × 131072)
    floor (81789.5)     		tx = 81789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151477813720703 × 217)
    floor (0.151477813720703 × 131072)
    floor (19854.5)     		ty = 19854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81789 / 19854 ti = "17/81789/19854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81789/19854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81789 ÷ 217
    81789 ÷ 131072     		x = 0.624000549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19854 ÷ 217
    19854 ÷ 131072     		y = 0.151473999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624000549316406 × 2 - 1) × π
    0.248001098632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.77911843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151473999023438 × 2 - 1) × π
    0.697052001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18985344844341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77911843} λ = 0.77911843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18985344844341))-π/2
    2×atan(8.93390374125599)-π/2
    2×1.45932716365569-π/2
    2.91865432731138-1.57079632675     		φ = 1.34785800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77911843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.640198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34785800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.226575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81789 KachelY 19854 0.77911843 1.34785800 44.640198 77.226575
    Oben rechts KachelX + 1 81790 KachelY 19854 0.77916637 1.34785800 44.642945 77.226575
    Unten links KachelX 81789 KachelY + 1 19855 0.77911843 1.34784740 44.640198 77.225967
    Unten rechts KachelX + 1 81790 KachelY + 1 19855 0.77916637 1.34784740 44.642945 77.225967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34785800-1.34784740) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34785800-1.34784740) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77911843-0.77916637) × cos(1.34785800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22109618250819 × 6371000     		do = 67.5284651536947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77911843-0.77916637) × cos(1.34784740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221106520167048 × 6371000     		du = 67.5316225408012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34785800)-sin(1.34784740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22109618250819-0.221106520167048)×R²
    abs(0.77916637-0.77911843)×1.03376588578008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03376588578008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03376588578008e-05×40589641000000     		ar = 4560.47943909737m²