Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81787 / 19845
↖ ↑ ↗
← N 77.232039°
E 44.634705°		 ← 67.49 m → N 77.232039°
E 44.637451°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.231432°
E 44.634705°		 ← 67.49 m →
4 558 m²		 N 77.231432°
E 44.637451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623989105224609 y=0.151409149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623989105224609 × 217)
    floor (0.623989105224609 × 131072)
    floor (81787.5)     		tx = 81787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151409149169922 × 217)
    floor (0.151409149169922 × 131072)
    floor (19845.5)     		ty = 19845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81787 / 19845 ti = "17/81787/19845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81787/19845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81787 ÷ 217
    81787 ÷ 131072     		x = 0.623985290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19845 ÷ 217
    19845 ÷ 131072     		y = 0.151405334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623985290527344 × 2 - 1) × π
    0.247970581054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.77902256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151405334472656 × 2 - 1) × π
    0.697189331054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.19028488053999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77902256} λ = 0.77902256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19028488053999))-π/2
    2×atan(8.93775894564738)-π/2
    2×1.45937484761796-π/2
    2.91874969523591-1.57079632675     		φ = 1.34795337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77902256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.634705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34795337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.232039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81787 KachelY 19845 0.77902256 1.34795337 44.634705 77.232039
    Oben rechts KachelX + 1 81788 KachelY 19845 0.77907049 1.34795337 44.637451 77.232039
    Unten links KachelX 81787 KachelY + 1 19846 0.77902256 1.34794277 44.634705 77.231432
    Unten rechts KachelX + 1 81788 KachelY + 1 19846 0.77907049 1.34794277 44.637451 77.231432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34795337-1.34794277) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34795337-1.34794277) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77902256-0.77907049) × cos(1.34795337) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.221003171718895 × 6371000     		do = 67.4859771524054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77902256-0.77907049) × cos(1.34794277) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.221013509601222 × 6371000     		du = 67.4891339491387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34795337)-sin(1.34794277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221003171718895-0.221013509601222)×R²
    abs(0.77907049-0.77902256)×1.03378823270162e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.03378823270162e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.03378823270162e-05×40589641000000     		ar = 4557.61009385434m²