Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81786 / 19853
↖ ↑ ↗
← N 77.227182°
E 44.631958°		 ← 67.53 m → N 77.227182°
E 44.634705°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.226575°
E 44.631958°		 ← 67.53 m →
4 560 m²		 N 77.226575°
E 44.634705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623981475830078 y=0.151470184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623981475830078 × 217)
    floor (0.623981475830078 × 131072)
    floor (81786.5)     		tx = 81786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151470184326172 × 217)
    floor (0.151470184326172 × 131072)
    floor (19853.5)     		ty = 19853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81786 / 19853 ti = "17/81786/19853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81786/19853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81786 ÷ 217
    81786 ÷ 131072     		x = 0.623977661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19853 ÷ 217
    19853 ÷ 131072     		y = 0.151466369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623977661132812 × 2 - 1) × π
    0.247955322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77897462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151466369628906 × 2 - 1) × π
    0.697067260742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.18990138534303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77897462} λ = 0.77897462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18990138534303))-π/2
    2×atan(8.93433201516783)-π/2
    2×1.45933246286456-π/2
    2.91866492572912-1.57079632675     		φ = 1.34786860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77897462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.631958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34786860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.227182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81786 KachelY 19853 0.77897462 1.34786860 44.631958 77.227182
    Oben rechts KachelX + 1 81787 KachelY 19853 0.77902256 1.34786860 44.634705 77.227182
    Unten links KachelX 81786 KachelY + 1 19854 0.77897462 1.34785800 44.631958 77.226575
    Unten rechts KachelX + 1 81787 KachelY + 1 19854 0.77902256 1.34785800 44.634705 77.226575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34786860-1.34785800) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34786860-1.34785800) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77897462-0.77902256) × cos(1.34786860) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22108584482449 × 6371000     		do = 67.5253077591571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77897462-0.77902256) × cos(1.34785800) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22109618250819 × 6371000     		du = 67.5284651538511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34786860)-sin(1.34785800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22108584482449-0.22109618250819)×R²
    abs(0.77902256-0.77897462)×1.0337683700179e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0337683700179e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0337683700179e-05×40589641000000     		ar = 4560.2662124488m²