Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81785 / 17124
↖ ↑ ↗
← N 78.782762°
E 44.629211°		 ← 59.41 m → N 78.782762°
E 44.631958°		 →
↑
59.44 m
↓
↑
59.44 m
↓
N 78.782227°
E 44.629211°		 ← 59.42 m →
3 532 m²		 N 78.782227°
E 44.631958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623973846435547 y=0.130649566650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623973846435547 × 217)
    floor (0.623973846435547 × 131072)
    floor (81785.5)     		tx = 81785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130649566650391 × 217)
    floor (0.130649566650391 × 131072)
    floor (17124.5)     		ty = 17124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81785 / 17124 ti = "17/81785/17124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81785/17124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81785 ÷ 217
    81785 ÷ 131072     		x = 0.623970031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17124 ÷ 217
    17124 ÷ 131072     		y = 0.130645751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623970031738281 × 2 - 1) × π
    0.247940063476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77892668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130645751953125 × 2 - 1) × π
    0.73870849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32072118440616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77892668} λ = 0.77892668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32072118440616))-π/2
    2×atan(10.1830154905607)-π/2
    2×1.47290745667873-π/2
    2.94581491335746-1.57079632675     		φ = 1.37501859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77892668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.629211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37501859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.782762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81785 KachelY 17124 0.77892668 1.37501859 44.629211 78.782762
    Oben rechts KachelX + 1 81786 KachelY 17124 0.77897462 1.37501859 44.631958 78.782762
    Unten links KachelX 81785 KachelY + 1 17125 0.77892668 1.37500926 44.629211 78.782227
    Unten rechts KachelX + 1 81786 KachelY + 1 17125 0.77897462 1.37500926 44.631958 78.782227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37501859-1.37500926) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000     		dl = 59.4414300008959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37501859-1.37500926) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000     		dr = 59.4414300008959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77892668-0.77897462) × cos(1.37501859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194529473153441 × 6371000     		do = 59.414308289661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77892668-0.77897462) × cos(1.37500926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194538624910938 × 6371000     		du = 59.4171034719668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37501859)-sin(1.37500926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194529473153441-0.194538624910938)×R²
    abs(0.77897462-0.77892668)×9.15175749693908e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.15175749693908e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.15175749693908e-06×40589641000000     		ar = 3531.75452204444m²