Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81784 / 19848
↖ ↑ ↗
← N 77.230218°
E 44.626465°		 ← 67.50 m → N 77.230218°
E 44.629211°		 →
↑
67.47 m
↓
↑
67.47 m
↓
N 77.229611°
E 44.626465°		 ← 67.50 m →
4 554 m²		 N 77.229611°
E 44.629211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623966217041016 y=0.151432037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623966217041016 × 217)
    floor (0.623966217041016 × 131072)
    floor (81784.5)     		tx = 81784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151432037353516 × 217)
    floor (0.151432037353516 × 131072)
    floor (19848.5)     		ty = 19848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81784 / 19848 ti = "17/81784/19848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81784/19848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81784 ÷ 217
    81784 ÷ 131072     		x = 0.62396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19848 ÷ 217
    19848 ÷ 131072     		y = 0.15142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62396240234375 × 2 - 1) × π
    0.2479248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77887875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15142822265625 × 2 - 1) × π
    0.6971435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19014106984113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77887875} λ = 0.77887875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19014106984113))-π/2
    2×atan(8.93647369270594)-π/2
    2×1.45935895519309-π/2
    2.91871791038619-1.57079632675     		φ = 1.34792158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77887875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34792158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.230218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81784 KachelY 19848 0.77887875 1.34792158 44.626465 77.230218
    Oben rechts KachelX + 1 81785 KachelY 19848 0.77892668 1.34792158 44.629211 77.230218
    Unten links KachelX 81784 KachelY + 1 19849 0.77887875 1.34791099 44.626465 77.229611
    Unten rechts KachelX + 1 81785 KachelY + 1 19849 0.77892668 1.34791099 44.629211 77.229611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34792158-1.34791099) × R
    1.05900000000325e-05 × 6371000     		dl = 67.4688900002072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34792158-1.34791099) × R
    1.05900000000325e-05 × 6371000     		dr = 67.4688900002072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77887875-0.77892668) × cos(1.34792158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221034175538715 × 6371000     		do = 67.4954445419197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77887875-0.77892668) × cos(1.34791099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221044503593926 × 6371000     		du = 67.4985983378248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34792158)-sin(1.34791099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221034175538715-0.221044503593926)×R²
    abs(0.77892668-0.77887875)×1.032805521059e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.032805521059e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.032805521059e-05×40589641000000     		ar = 4553.94911482802m²