Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81779 / 17140
↖ ↑ ↗
← N 78.774210°
E 44.612732°		 ← 59.46 m → N 78.774210°
E 44.615479°		 →
↑
59.44 m
↓
↑
59.44 m
↓
N 78.773675°
E 44.612732°		 ← 59.46 m →
3 534 m²		 N 78.773675°
E 44.615479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623928070068359 y=0.130771636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623928070068359 × 217)
    floor (0.623928070068359 × 131072)
    floor (81779.5)     		tx = 81779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130771636962891 × 217)
    floor (0.130771636962891 × 131072)
    floor (17140.5)     		ty = 17140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81779 / 17140 ti = "17/81779/17140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81779/17140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81779 ÷ 217
    81779 ÷ 131072     		x = 0.623924255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17140 ÷ 217
    17140 ÷ 131072     		y = 0.130767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623924255371094 × 2 - 1) × π
    0.247848510742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77863906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130767822265625 × 2 - 1) × π
    0.73846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31995419401224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77863906} λ = 0.77863906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31995419401224))-π/2
    2×atan(10.1752082099357)-π/2
    2×1.47283282748941-π/2
    2.94566565497883-1.57079632675     		φ = 1.37486933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77863906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.612732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37486933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.774210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81779 KachelY 17140 0.77863906 1.37486933 44.612732 78.774210
    Oben rechts KachelX + 1 81780 KachelY 17140 0.77868700 1.37486933 44.615479 78.774210
    Unten links KachelX 81779 KachelY + 1 17141 0.77863906 1.37486000 44.612732 78.773675
    Unten rechts KachelX + 1 81780 KachelY + 1 17141 0.77868700 1.37486000 44.615479 78.773675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37486933-1.37486000) × R
    9.32999999991857e-06 × 6371000     		dl = 59.4414299994812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37486933-1.37486000) × R
    9.32999999991857e-06 × 6371000     		dr = 59.4414299994812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77863906-0.77868700) × cos(1.37486933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194675879623467 × 6371000     		do = 59.4590245941093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77863906-0.77868700) × cos(1.37486000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194685031109954 × 6371000     		du = 59.4618196936418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37486933)-sin(1.37486000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194675879623467-0.194685031109954)×R²
    abs(0.77868700-0.77863906)×9.15148648747421e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.15148648747421e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.15148648747421e-06×40589641000000     		ar = 3534.41252069022m²