Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81776 / 17324
↖ ↑ ↗
← N 78.675399°
E 44.604492°		 ← 59.98 m → N 78.675399°
E 44.607239°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.674860°
E 44.604492°		 ← 59.98 m →
3 596 m²		 N 78.674860°
E 44.607239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623905181884766 y=0.132175445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623905181884766 × 217)
    floor (0.623905181884766 × 131072)
    floor (81776.5)     		tx = 81776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132175445556641 × 217)
    floor (0.132175445556641 × 131072)
    floor (17324.5)     		ty = 17324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81776 / 17324 ti = "17/81776/17324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81776/17324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81776 ÷ 217
    81776 ÷ 131072     		x = 0.6239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17324 ÷ 217
    17324 ÷ 131072     		y = 0.132171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6239013671875 × 2 - 1) × π
    0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132171630859375 × 2 - 1) × π
    0.73565673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31113380448215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77849525} λ = 0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31113380448215))-π/2
    2×atan(10.0858535606904)-π/2
    2×1.47197054466161-π/2
    2.94394108932322-1.57079632675     		φ = 1.37314476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37314476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.675399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81776 KachelY 17324 0.77849525 1.37314476 44.604492 78.675399
    Oben rechts KachelX + 1 81777 KachelY 17324 0.77854319 1.37314476 44.607239 78.675399
    Unten links KachelX 81776 KachelY + 1 17325 0.77849525 1.37313535 44.604492 78.674860
    Unten rechts KachelX + 1 81777 KachelY + 1 17325 0.77854319 1.37313535 44.607239 78.674860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37314476-1.37313535) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dl = 59.9511099992129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37314476-1.37313535) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dr = 59.9511099992129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77849525-0.77854319) × cos(1.37314476) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196367164171885 × 6371000     		do = 59.975586428999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77849525-0.77854319) × cos(1.37313535) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196376390954598 × 6371000     		du = 59.978404525937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37314476)-sin(1.37313535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196367164171885-0.196376390954598)×R²
    abs(0.77854319-0.77849525)×9.22678271292332e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.22678271292332e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.22678271292332e-06×40589641000000     		ar = 3595.68745325898m²