Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81776 / 17322
↖ ↑ ↗
← N 78.676478°
E 44.604492°		 ← 59.97 m → N 78.676478°
E 44.607239°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.675939°
E 44.604492°		 ← 59.97 m →
3 595 m²		 N 78.675939°
E 44.607239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623905181884766 y=0.132160186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623905181884766 × 217)
    floor (0.623905181884766 × 131072)
    floor (81776.5)     		tx = 81776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132160186767578 × 217)
    floor (0.132160186767578 × 131072)
    floor (17322.5)     		ty = 17322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81776 / 17322 ti = "17/81776/17322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81776/17322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81776 ÷ 217
    81776 ÷ 131072     		x = 0.6239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17322 ÷ 217
    17322 ÷ 131072     		y = 0.132156372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6239013671875 × 2 - 1) × π
    0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132156372070312 × 2 - 1) × π
    0.735687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31122967828139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77849525} λ = 0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31122967828139))-π/2
    2×atan(10.0868205761448)-π/2
    2×1.47197995745208-π/2
    2.94395991490417-1.57079632675     		φ = 1.37316359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37316359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.676478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81776 KachelY 17322 0.77849525 1.37316359 44.604492 78.676478
    Oben rechts KachelX + 1 81777 KachelY 17322 0.77854319 1.37316359 44.607239 78.676478
    Unten links KachelX 81776 KachelY + 1 17323 0.77849525 1.37315418 44.604492 78.675939
    Unten rechts KachelX + 1 81777 KachelY + 1 17323 0.77854319 1.37315418 44.607239 78.675939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37316359-1.37315418) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dl = 59.9511100006276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37316359-1.37315418) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dr = 59.9511100006276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77849525-0.77854319) × cos(1.37316359) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196348700748954 × 6371000     		do = 59.9699472243875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77849525-0.77854319) × cos(1.37315418) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196357927566461 × 6371000     		du = 59.9727653319524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37316359)-sin(1.37315418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196348700748954-0.196357927566461)×R²
    abs(0.77854319-0.77849525)×9.22681750667453e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.22681750667453e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.22681750667453e-06×40589641000000     		ar = 3595.34937713502m²