Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81775 / 17323
↖ ↑ ↗
← N 78.675939°
E 44.601745°		 ← 59.97 m → N 78.675939°
E 44.604492°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.675399°
E 44.601745°		 ← 59.98 m →
3 599 m²		 N 78.675399°
E 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623897552490234 y=0.132167816162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623897552490234 × 217)
    floor (0.623897552490234 × 131072)
    floor (81775.5)     		tx = 81775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132167816162109 × 217)
    floor (0.132167816162109 × 131072)
    floor (17323.5)     		ty = 17323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81775 / 17323 ti = "17/81775/17323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81775/17323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81775 ÷ 217
    81775 ÷ 131072     		x = 0.623893737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17323 ÷ 217
    17323 ÷ 131072     		y = 0.132164001464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623893737792969 × 2 - 1) × π
    0.247787475585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77844731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132164001464844 × 2 - 1) × π
    0.735671997070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.31118174138177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77844731} λ = 0.77844731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31118174138177))-π/2
    2×atan(10.0863370568287)-π/2
    2×1.47197525116745-π/2
    2.94395050233491-1.57079632675     		φ = 1.37315418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77844731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.601745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37315418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.675939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81775 KachelY 17323 0.77844731 1.37315418 44.601745 78.675939
    Oben rechts KachelX + 1 81776 KachelY 17323 0.77849525 1.37315418 44.604492 78.675939
    Unten links KachelX 81775 KachelY + 1 17324 0.77844731 1.37314476 44.601745 78.675399
    Unten rechts KachelX + 1 81776 KachelY + 1 17324 0.77849525 1.37314476 44.604492 78.675399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37315418-1.37314476) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37315418-1.37314476) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77844731-0.77849525) × cos(1.37315418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196357927566461 × 6371000     		do = 59.9727653318135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77844731-0.77849525) × cos(1.37314476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196367164171885 × 6371000     		du = 59.9755864288601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37315418)-sin(1.37314476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196357927566461-0.196367164171885)×R²
    abs(0.77849525-0.77844731)×9.23660542384575e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.23660542384575e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.23660542384575e-06×40589641000000     		ar = 3599.33937020014m²