Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81774 / 17315
↖ ↑ ↗
← N 78.680252°
E 44.598999°		 ← 59.94 m → N 78.680252°
E 44.601745°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.679713°
E 44.598999°		 ← 59.94 m →
3 593 m²		 N 78.679713°
E 44.601745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623889923095703 y=0.132106781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623889923095703 × 217)
    floor (0.623889923095703 × 131072)
    floor (81774.5)     		tx = 81774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132106781005859 × 217)
    floor (0.132106781005859 × 131072)
    floor (17315.5)     		ty = 17315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81774 / 17315 ti = "17/81774/17315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81774/17315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81774 ÷ 217
    81774 ÷ 131072     		x = 0.623886108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17315 ÷ 217
    17315 ÷ 131072     		y = 0.132102966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623886108398438 × 2 - 1) × π
    0.247772216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77839938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132102966308594 × 2 - 1) × π
    0.735794067382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.31156523657873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77839938} λ = 0.77839938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31156523657873))-π/2
    2×atan(10.0902058604313)-π/2
    2×1.47201289525123-π/2
    2.94402579050245-1.57079632675     		φ = 1.37322946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77839938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.598999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37322946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.680252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81774 KachelY 17315 0.77839938 1.37322946 44.598999 78.680252
    Oben rechts KachelX + 1 81775 KachelY 17315 0.77844731 1.37322946 44.601745 78.680252
    Unten links KachelX 81774 KachelY + 1 17316 0.77839938 1.37322005 44.598999 78.679713
    Unten rechts KachelX + 1 81775 KachelY + 1 17316 0.77844731 1.37322005 44.601745 78.679713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37322946-1.37322005) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dl = 59.9511099992129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37322946-1.37322005) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dr = 59.9511099992129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77839938-0.77844731) × cos(1.37322946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.196284112539638 × 6371000     		do = 59.937715061889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77839938-0.77844731) × cos(1.37322005) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.196293339478831 × 6371000     		du = 59.9405326187718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37322946)-sin(1.37322005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196284112539638-0.196293339478831)×R²
    abs(0.77844731-0.77839938)×9.2269391934463e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.2269391934463e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.2269391934463e-06×40589641000000     		ar = 3593.4170066691m²