Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81773 / 17318
↖ ↑ ↗
← N 78.678635°
E 44.596252°		 ← 59.96 m → N 78.678635°
E 44.598999°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.678096°
E 44.596252°		 ← 59.96 m →
3 595 m²		 N 78.678096°
E 44.598999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623882293701172 y=0.132129669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623882293701172 × 217)
    floor (0.623882293701172 × 131072)
    floor (81773.5)     		tx = 81773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132129669189453 × 217)
    floor (0.132129669189453 × 131072)
    floor (17318.5)     		ty = 17318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81773 / 17318 ti = "17/81773/17318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81773/17318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81773 ÷ 217
    81773 ÷ 131072     		x = 0.623878479003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17318 ÷ 217
    17318 ÷ 131072     		y = 0.132125854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623878479003906 × 2 - 1) × π
    0.247756958007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.77835144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132125854492188 × 2 - 1) × π
    0.735748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31142142587987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77835144} λ = 0.77835144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31142142587987))-π/2
    2×atan(10.0887548852102)-π/2
    2×1.47199878037862-π/2
    2.94399756075724-1.57079632675     		φ = 1.37320123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77835144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.596252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37320123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.678635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81773 KachelY 17318 0.77835144 1.37320123 44.596252 78.678635
    Oben rechts KachelX + 1 81774 KachelY 17318 0.77839938 1.37320123 44.598999 78.678635
    Unten links KachelX 81773 KachelY + 1 17319 0.77835144 1.37319182 44.596252 78.678096
    Unten rechts KachelX + 1 81774 KachelY + 1 17319 0.77839938 1.37319182 44.598999 78.678096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37320123-1.37319182) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dl = 59.9511100006276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37320123-1.37319182) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dr = 59.9511100006276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77835144-0.77839938) × cos(1.37320123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196311793305073 × 6371000     		do = 59.9586747408897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77835144-0.77839938) × cos(1.37319182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19632102019212 × 6371000     		du = 59.961492869694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37320123)-sin(1.37319182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196311793305073-0.19632102019212)×R²
    abs(0.77839938-0.77835144)×9.22688704699248e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.22688704699248e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.22688704699248e-06×40589641000000     		ar = 3594.67358003979m²