Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81772 / 17139
↖ ↑ ↗
← N 78.774745°
E 44.593506°		 ← 59.46 m → N 78.774745°
E 44.596252°		 →
↑
59.44 m
↓
↑
59.44 m
↓
N 78.774210°
E 44.593506°		 ← 59.46 m →
3 534 m²		 N 78.774210°
E 44.596252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623874664306641 y=0.130764007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623874664306641 × 217)
    floor (0.623874664306641 × 131072)
    floor (81772.5)     		tx = 81772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130764007568359 × 217)
    floor (0.130764007568359 × 131072)
    floor (17139.5)     		ty = 17139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81772 / 17139 ti = "17/81772/17139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81772/17139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81772 ÷ 217
    81772 ÷ 131072     		x = 0.623870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17139 ÷ 217
    17139 ÷ 131072     		y = 0.130760192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623870849609375 × 2 - 1) × π
    0.24774169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77830350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130760192871094 × 2 - 1) × π
    0.738479614257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.32000213091186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77830350} λ = 0.77830350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32000213091186))-π/2
    2×atan(10.1756959895615)-π/2
    2×1.47283749345881-π/2
    2.94567498691762-1.57079632675     		φ = 1.37487866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77830350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.593506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37487866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.774745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81772 KachelY 17139 0.77830350 1.37487866 44.593506 78.774745
    Oben rechts KachelX + 1 81773 KachelY 17139 0.77835144 1.37487866 44.596252 78.774745
    Unten links KachelX 81772 KachelY + 1 17140 0.77830350 1.37486933 44.593506 78.774210
    Unten rechts KachelX + 1 81773 KachelY + 1 17140 0.77835144 1.37486933 44.596252 78.774210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37487866-1.37486933) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000     		dl = 59.4414300008959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37487866-1.37486933) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000     		dr = 59.4414300008959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77830350-0.77835144) × cos(1.37487866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194666728120033 × 6371000     		do = 59.4562294894009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77830350-0.77835144) × cos(1.37486933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194675879623467 × 6371000     		du = 59.4590245941093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37487866)-sin(1.37486933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194666728120033-0.194675879623467)×R²
    abs(0.77835144-0.77830350)×9.15150343400173e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.15150343400173e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.15150343400173e-06×40589641000000     		ar = 3534.24637576465m²