Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81771 / 17319
↖ ↑ ↗
← N 78.678096°
E 44.590760°		 ← 59.95 m → N 78.678096°
E 44.593506°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.677557°
E 44.590760°		 ← 59.95 m →
3 594 m²		 N 78.677557°
E 44.593506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623867034912109 y=0.132137298583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623867034912109 × 217)
    floor (0.623867034912109 × 131072)
    floor (81771.5)     		tx = 81771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132137298583984 × 217)
    floor (0.132137298583984 × 131072)
    floor (17319.5)     		ty = 17319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81771 / 17319 ti = "17/81771/17319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81771/17319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81771 ÷ 217
    81771 ÷ 131072     		x = 0.623863220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17319 ÷ 217
    17319 ÷ 131072     		y = 0.132133483886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623863220214844 × 2 - 1) × π
    0.247726440429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.77825557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132133483886719 × 2 - 1) × π
    0.735733032226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.31137348898025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77825557} λ = 0.77825557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31137348898025))-π/2
    2×atan(10.0882712731715)-π/2
    2×1.47199407497876-π/2
    2.94398814995753-1.57079632675     		φ = 1.37319182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77825557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.590760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37319182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.678096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81771 KachelY 17319 0.77825557 1.37319182 44.590760 78.678096
    Oben rechts KachelX + 1 81772 KachelY 17319 0.77830350 1.37319182 44.593506 78.678096
    Unten links KachelX 81771 KachelY + 1 17320 0.77825557 1.37318241 44.590760 78.677557
    Unten rechts KachelX + 1 81772 KachelY + 1 17320 0.77830350 1.37318241 44.593506 78.677557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37319182-1.37318241) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dl = 59.9511099992129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37319182-1.37318241) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dr = 59.9511099992129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77825557-0.77830350) × cos(1.37319182) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19632102019212 × 6371000     		do = 59.9489852575735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77825557-0.77830350) × cos(1.37318241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.196330247061783 × 6371000     		du = 59.9518027932244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37319182)-sin(1.37318241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19632102019212-0.196330247061783)×R²
    abs(0.77830350-0.77825557)×9.22686966292607e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.22686966292607e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.22686966292607e-06×40589641000000     		ar = 3594.09266667655m²