Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81771 / 17141
↖ ↑ ↗
← N 78.773675°
E 44.590760°		 ← 59.45 m → N 78.773675°
E 44.593506°		 →
↑
59.51 m
↓
↑
59.51 m
↓
N 78.773140°
E 44.590760°		 ← 59.45 m →
3 538 m²		 N 78.773140°
E 44.593506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623867034912109 y=0.130779266357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623867034912109 × 217)
    floor (0.623867034912109 × 131072)
    floor (81771.5)     		tx = 81771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130779266357422 × 217)
    floor (0.130779266357422 × 131072)
    floor (17141.5)     		ty = 17141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81771 / 17141 ti = "17/81771/17141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81771/17141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81771 ÷ 217
    81771 ÷ 131072     		x = 0.623863220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17141 ÷ 217
    17141 ÷ 131072     		y = 0.130775451660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623863220214844 × 2 - 1) × π
    0.247726440429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.77825557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130775451660156 × 2 - 1) × π
    0.738449096679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.31990625711262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77825557} λ = 0.77825557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31990625711262))-π/2
    2×atan(10.174720453692)-π/2
    2×1.47282816130062-π/2
    2.94565632260124-1.57079632675     		φ = 1.37486000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77825557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.590760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37486000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.773675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81771 KachelY 17141 0.77825557 1.37486000 44.590760 78.773675
    Oben rechts KachelX + 1 81772 KachelY 17141 0.77830350 1.37486000 44.593506 78.773675
    Unten links KachelX 81771 KachelY + 1 17142 0.77825557 1.37485066 44.590760 78.773140
    Unten rechts KachelX + 1 81772 KachelY + 1 17142 0.77830350 1.37485066 44.593506 78.773140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37486000-1.37485066) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dl = 59.5051400005087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37486000-1.37485066) × R
    9.34000000007984e-06 × 6371000     		dr = 59.5051400005087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77825557-0.77830350) × cos(1.37486000) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194685031109954 × 6371000     		do = 59.4494163103852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77825557-0.77830350) × cos(1.37485066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194694192388135 × 6371000     		du = 59.4522138168878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37486000)-sin(1.37485066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194685031109954-0.194694192388135)×R²
    abs(0.77830350-0.77825557)×9.16127818043067e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.16127818043067e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.16127818043067e-06×40589641000000     		ar = 3537.62907359332m²