Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81766 / 17311
↖ ↑ ↗
← N 78.682409°
E 44.577026°		 ← 59.94 m → N 78.682409°
E 44.579773°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.681870°
E 44.577026°		 ← 59.94 m →
3 593 m²		 N 78.681870°
E 44.579773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623828887939453 y=0.132076263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623828887939453 × 217)
    floor (0.623828887939453 × 131072)
    floor (81766.5)     		tx = 81766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132076263427734 × 217)
    floor (0.132076263427734 × 131072)
    floor (17311.5)     		ty = 17311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81766 / 17311 ti = "17/81766/17311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81766/17311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81766 ÷ 217
    81766 ÷ 131072     		x = 0.623825073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17311 ÷ 217
    17311 ÷ 131072     		y = 0.132072448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623825073242188 × 2 - 1) × π
    0.247650146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77801588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132072448730469 × 2 - 1) × π
    0.735855102539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.31175698417721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77801588} λ = 0.77801588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31175698417721))-π/2
    2×atan(10.0921408186791)-π/2
    2×1.47203171198548-π/2
    2.94406342397096-1.57079632675     		φ = 1.37326710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77801588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.577026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37326710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.682409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81766 KachelY 17311 0.77801588 1.37326710 44.577026 78.682409
    Oben rechts KachelX + 1 81767 KachelY 17311 0.77806382 1.37326710 44.579773 78.682409
    Unten links KachelX 81766 KachelY + 1 17312 0.77801588 1.37325769 44.577026 78.681870
    Unten rechts KachelX + 1 81767 KachelY + 1 17312 0.77806382 1.37325769 44.579773 78.681870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37326710-1.37325769) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dl = 59.9511100006276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37326710-1.37325769) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dr = 59.9511100006276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77801588-0.77806382) × cos(1.37326710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196247204609066 × 6371000     		do = 59.938947690616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77801588-0.77806382) × cos(1.37325769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196256431617777 × 6371000     		du = 59.9417658565796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37326710)-sin(1.37325769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196247204609066-0.196256431617777)×R²
    abs(0.77806382-0.77801588)×9.22700871106019e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.22700871106019e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.22700871106019e-06×40589641000000     		ar = 3593.49092260769m²