Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81765 / 17321
↖ ↑ ↗
← N 78.677017°
E 44.574280°		 ← 59.97 m → N 78.677017°
E 44.577026°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.676478°
E 44.574280°		 ← 59.97 m →
3 595 m²		 N 78.676478°
E 44.577026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623821258544922 y=0.132152557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623821258544922 × 217)
    floor (0.623821258544922 × 131072)
    floor (81765.5)     		tx = 81765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132152557373047 × 217)
    floor (0.132152557373047 × 131072)
    floor (17321.5)     		ty = 17321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81765 / 17321 ti = "17/81765/17321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81765/17321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81765 ÷ 217
    81765 ÷ 131072     		x = 0.623817443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17321 ÷ 217
    17321 ÷ 131072     		y = 0.132148742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623817443847656 × 2 - 1) × π
    0.247634887695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77796794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132148742675781 × 2 - 1) × π
    0.735702514648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.31127761518101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77796794} λ = 0.77796794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31127761518101))-π/2
    2×atan(10.0873041186399)-π/2
    2×1.47198466351551-π/2
    2.94396932703101-1.57079632675     		φ = 1.37317300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77796794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.574280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37317300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.677017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81765 KachelY 17321 0.77796794 1.37317300 44.574280 78.677017
    Oben rechts KachelX + 1 81766 KachelY 17321 0.77801588 1.37317300 44.577026 78.677017
    Unten links KachelX 81765 KachelY + 1 17322 0.77796794 1.37316359 44.574280 78.676478
    Unten rechts KachelX + 1 81766 KachelY + 1 17322 0.77801588 1.37316359 44.577026 78.676478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37317300-1.37316359) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dl = 59.9511099992129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37317300-1.37316359) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dr = 59.9511099992129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77796794-0.77801588) × cos(1.37317300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196339473914062 × 6371000     		do = 59.9671291113737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77796794-0.77801588) × cos(1.37316359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196348700748954 × 6371000     		du = 59.9699472242486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37317300)-sin(1.37316359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196339473914062-0.196348700748954)×R²
    abs(0.77801588-0.77796794)×9.2268348927671e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.2268348927671e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.2268348927671e-06×40589641000000     		ar = 3595.18042828704m²