Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81765 / 17309
↖ ↑ ↗
← N 78.683487°
E 44.574280°		 ← 59.93 m → N 78.683487°
E 44.577026°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.682948°
E 44.574280°		 ← 59.94 m →
3 593 m²		 N 78.682948°
E 44.577026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623821258544922 y=0.132061004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623821258544922 × 217)
    floor (0.623821258544922 × 131072)
    floor (81765.5)     		tx = 81765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132061004638672 × 217)
    floor (0.132061004638672 × 131072)
    floor (17309.5)     		ty = 17309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81765 / 17309 ti = "17/81765/17309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81765/17309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81765 ÷ 217
    81765 ÷ 131072     		x = 0.623817443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17309 ÷ 217
    17309 ÷ 131072     		y = 0.132057189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623817443847656 × 2 - 1) × π
    0.247634887695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77796794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132057189941406 × 2 - 1) × π
    0.735885620117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.31185285797645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77796794} λ = 0.77796794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31185285797645))-π/2
    2×atan(10.0931084369457)-π/2
    2×1.47204111902598-π/2
    2.94408223805195-1.57079632675     		φ = 1.37328591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77796794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.574280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37328591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.683487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81765 KachelY 17309 0.77796794 1.37328591 44.574280 78.683487
    Oben rechts KachelX + 1 81766 KachelY 17309 0.77801588 1.37328591 44.577026 78.683487
    Unten links KachelX 81765 KachelY + 1 17310 0.77796794 1.37327650 44.574280 78.682948
    Unten rechts KachelX + 1 81766 KachelY + 1 17310 0.77801588 1.37327650 44.577026 78.682948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37328591-1.37327650) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dl = 59.9511100006276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37328591-1.37327650) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dr = 59.9511100006276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77796794-0.77801588) × cos(1.37328591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196228760345094 × 6371000     		do = 59.9333143376437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77796794-0.77801588) × cos(1.37327650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196237987388541 × 6371000     		du = 59.9361325142164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37328591)-sin(1.37327650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196228760345094-0.196237987388541)×R²
    abs(0.77801588-0.77796794)×9.22704344644143e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.22704344644143e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.22704344644143e-06×40589641000000     		ar = 3593.15319710802m²