Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81763 / 17313
↖ ↑ ↗
← N 78.681331°
E 44.568787°		 ← 59.94 m → N 78.681331°
E 44.571533°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.680792°
E 44.568787°		 ← 59.95 m →
3 594 m²		 N 78.680792°
E 44.571533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623805999755859 y=0.132091522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623805999755859 × 217)
    floor (0.623805999755859 × 131072)
    floor (81763.5)     		tx = 81763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132091522216797 × 217)
    floor (0.132091522216797 × 131072)
    floor (17313.5)     		ty = 17313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81763 / 17313 ti = "17/81763/17313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81763/17313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81763 ÷ 217
    81763 ÷ 131072     		x = 0.623802185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17313 ÷ 217
    17313 ÷ 131072     		y = 0.132087707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623802185058594 × 2 - 1) × π
    0.247604370117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77787207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132087707519531 × 2 - 1) × π
    0.735824584960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.31166111037797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77787207} λ = 0.77787207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31166111037797))-π/2
    2×atan(10.0911732931772)-π/2
    2×1.47202230406059-π/2
    2.94404460812118-1.57079632675     		φ = 1.37324828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77787207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.568787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37324828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.681331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81763 KachelY 17313 0.77787207 1.37324828 44.568787 78.681331
    Oben rechts KachelX + 1 81764 KachelY 17313 0.77792001 1.37324828 44.571533 78.681331
    Unten links KachelX 81763 KachelY + 1 17314 0.77787207 1.37323887 44.568787 78.680792
    Unten rechts KachelX + 1 81764 KachelY + 1 17314 0.77792001 1.37323887 44.571533 78.680792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37324828-1.37323887) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dl = 59.9511100006276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37324828-1.37323887) × R
    9.41000000009851e-06 × 6371000     		dr = 59.9511100006276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77787207-0.77792001) × cos(1.37324828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19626565860911 × 6371000     		do = 59.9445840172354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77787207-0.77792001) × cos(1.37323887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196274885583064 × 6371000     		du = 59.9474021725832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37324828)-sin(1.37323887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19626565860911-0.196274885583064)×R²
    abs(0.77792001-0.77787207)×9.22697395400185e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.22697395400185e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.22697395400185e-06×40589641000000     		ar = 3593.82882611994m²