Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81760 / 19874
↖ ↑ ↗
← N 77.214424°
E 44.560547°		 ← 67.59 m → N 77.214424°
E 44.563294°		 →
↑
67.60 m
↓
↑
67.60 m
↓
N 77.213816°
E 44.560547°		 ← 67.59 m →
4 569 m²		 N 77.213816°
E 44.563294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623783111572266 y=0.151630401611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623783111572266 × 217)
    floor (0.623783111572266 × 131072)
    floor (81760.5)     		tx = 81760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151630401611328 × 217)
    floor (0.151630401611328 × 131072)
    floor (19874.5)     		ty = 19874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81760 / 19874 ti = "17/81760/19874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81760/19874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81760 ÷ 217
    81760 ÷ 131072     		x = 0.623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19874 ÷ 217
    19874 ÷ 131072     		y = 0.151626586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623779296875 × 2 - 1) × π
    0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151626586914062 × 2 - 1) × π
    0.696746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.188894710451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77772826} λ = 0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.188894710451))-π/2
    2×atan(8.92534257293322)-π/2
    2×1.45922112743686-π/2
    2.91844225487371-1.57079632675     		φ = 1.34764593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34764593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.214424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81760 KachelY 19874 0.77772826 1.34764593 44.560547 77.214424
    Oben rechts KachelX + 1 81761 KachelY 19874 0.77777620 1.34764593 44.563294 77.214424
    Unten links KachelX 81760 KachelY + 1 19875 0.77772826 1.34763532 44.560547 77.213816
    Unten rechts KachelX + 1 81761 KachelY + 1 19875 0.77777620 1.34763532 44.563294 77.213816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34764593-1.34763532) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dl = 67.5963100008474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34764593-1.34763532) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dr = 67.5963100008474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77772826-0.77777620) × cos(1.34764593) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.221302999228109 × 6371000     		do = 67.591632303577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77772826-0.77777620) × cos(1.34763532) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.221313346141739 × 6371000     		du = 67.5947925173291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34764593)-sin(1.34763532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221302999228109-0.221313346141739)×R²
    abs(0.77777620-0.77772826)×1.03469136299994e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03469136299994e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03469136299994e-05×40589641000000     		ar = 4569.05174006118m²