Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81760 / 17119
↖ ↑ ↗
← N 78.785433°
E 44.560547°		 ← 59.40 m → N 78.785433°
E 44.563294°		 →
↑
59.44 m
↓
↑
59.44 m
↓
N 78.784899°
E 44.560547°		 ← 59.40 m →
3 531 m²		 N 78.784899°
E 44.563294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623783111572266 y=0.130611419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623783111572266 × 217)
    floor (0.623783111572266 × 131072)
    floor (81760.5)     		tx = 81760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130611419677734 × 217)
    floor (0.130611419677734 × 131072)
    floor (17119.5)     		ty = 17119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81760 / 17119 ti = "17/81760/17119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81760/17119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81760 ÷ 217
    81760 ÷ 131072     		x = 0.623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17119 ÷ 217
    17119 ÷ 131072     		y = 0.130607604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623779296875 × 2 - 1) × π
    0.24755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77772826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130607604980469 × 2 - 1) × π
    0.738784790039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.32096086890426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77772826} λ = 0.77772826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32096086890426))-π/2
    2×atan(10.1854564940414)-π/2
    2×1.47293076678842-π/2
    2.94586153357684-1.57079632675     		φ = 1.37506521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77772826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.560547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37506521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.785433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81760 KachelY 17119 0.77772826 1.37506521 44.560547 78.785433
    Oben rechts KachelX + 1 81761 KachelY 17119 0.77777620 1.37506521 44.563294 78.785433
    Unten links KachelX 81760 KachelY + 1 17120 0.77772826 1.37505588 44.560547 78.784899
    Unten rechts KachelX + 1 81761 KachelY + 1 17120 0.77777620 1.37505588 44.563294 78.784899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37506521-1.37505588) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000     		dl = 59.4414300008959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37506521-1.37505588) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000     		dr = 59.4414300008959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77772826-0.77777620) × cos(1.37506521) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194483743539142 × 6371000     		do = 59.4003412885113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77772826-0.77777620) × cos(1.37505588) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194492895381245 × 6371000     		du = 59.4031364966578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37506521)-sin(1.37505588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194483743539142-0.194492895381245)×R²
    abs(0.77777620-0.77772826)×9.15184210240061e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.15184210240061e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.15184210240061e-06×40589641000000     		ar = 3530.92430445814m²