Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8176 / 3986
↖ ↑ ↗
← N 67.458082°
W  0.351562°		 ← 936.63 m → N 67.458082°
W  0.329590°		 →
↑
936.79 m
↓
↑
936.79 m
↓
N 67.449657°
W  0.351562°		 ← 936.96 m →
877 582 m²		 N 67.449657°
W  0.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499053955078125 y=0.243316650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499053955078125 × 214)
    floor (0.499053955078125 × 16384)
    floor (8176.5)     		tx = 8176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243316650390625 × 214)
    floor (0.243316650390625 × 16384)
    floor (3986.5)     		ty = 3986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8176 / 3986 ti = "14/8176/3986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8176/3986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8176 ÷ 214
    8176 ÷ 16384     		x = 0.4990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3986 ÷ 214
    3986 ÷ 16384     		y = 0.2432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4990234375 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00613592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2432861328125 × 2 - 1) × π
    0.513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61298079841565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00613592} λ = -0.00613592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61298079841565))-π/2
    2×atan(5.017745847102)-π/2
    2×1.37408097808926-π/2
    2.74816195617851-1.57079632675     		φ = 1.17736563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00613592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17736563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.458082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8176 KachelY 3986 -0.00613592 1.17736563 -0.351562 67.458082
    Oben rechts KachelX + 1 8177 KachelY 3986 -0.00575243 1.17736563 -0.329590 67.458082
    Unten links KachelX 8176 KachelY + 1 3987 -0.00613592 1.17721859 -0.351562 67.449657
    Unten rechts KachelX + 1 8177 KachelY + 1 3987 -0.00575243 1.17721859 -0.329590 67.449657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17736563-1.17721859) × R
    0.000147039999999876 × 6371000     		dl = 936.791839999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17736563-1.17721859) × R
    0.000147039999999876 × 6371000     		dr = 936.791839999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00613592--0.00575243) × cos(1.17736563) × R
    0.000383489999999999 × 0.383359254100134 × 6371000     		do = 936.628999500814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00613592--0.00575243) × cos(1.17721859) × R
    0.000383489999999999 × 0.383495055997678 × 6371000     		du = 936.960792705403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17736563)-sin(1.17721859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383359254100134-0.383495055997678)×R²
    abs(-0.00575243--0.00613592)×0.000135801897543752×R²
    0.000383489999999999×0.000135801897543752×6371000²
    0.000383489999999999×0.000135801897543752×40589641000000     		ar = 877581.816003614m²