Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81758 / 17098
↖ ↑ ↗
← N 78.796645°
E 44.555054°		 ← 59.33 m → N 78.796645°
E 44.557800°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.796111°
E 44.555054°		 ← 59.33 m →
3 519 m²		 N 78.796111°
E 44.557800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623767852783203 y=0.130451202392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623767852783203 × 217)
    floor (0.623767852783203 × 131072)
    floor (81758.5)     		tx = 81758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130451202392578 × 217)
    floor (0.130451202392578 × 131072)
    floor (17098.5)     		ty = 17098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81758 / 17098 ti = "17/81758/17098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81758/17098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81758 ÷ 217
    81758 ÷ 131072     		x = 0.623764038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17098 ÷ 217
    17098 ÷ 131072     		y = 0.130447387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623764038085938 × 2 - 1) × π
    0.247528076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77763239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130447387695312 × 2 - 1) × π
    0.739105224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32196754379628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77763239} λ = 0.77763239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32196754379628))-π/2
    2×atan(10.1957151000319)-π/2
    2×1.47302860942468-π/2
    2.94605721884937-1.57079632675     		φ = 1.37526089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77763239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.555054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37526089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.796645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81758 KachelY 17098 0.77763239 1.37526089 44.555054 78.796645
    Oben rechts KachelX + 1 81759 KachelY 17098 0.77768032 1.37526089 44.557800 78.796645
    Unten links KachelX 81758 KachelY + 1 17099 0.77763239 1.37525158 44.555054 78.796111
    Unten rechts KachelX + 1 81759 KachelY + 1 17099 0.77768032 1.37525158 44.557800 78.796111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37526089-1.37525158) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dl = 59.3140100002556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37526089-1.37525158) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dr = 59.3140100002556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77763239-0.77768032) × cos(1.37526089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194291796181435 × 6371000     		do = 59.3293372943457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77763239-0.77768032) × cos(1.37525158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194300928759599 × 6371000     		du = 59.332126036953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37526089)-sin(1.37525158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194291796181435-0.194300928759599)×R²
    abs(0.77768032-0.77763239)×9.13257816395618e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.13257816395618e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.13257816395618e-06×40589641000000     		ar = 3519.14361130735m²