Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81756 / 19892
↖ ↑ ↗
← N 77.203478°
E 44.549560°		 ← 67.65 m → N 77.203478°
E 44.552307°		 →
↑
67.60 m
↓
↑
67.60 m
↓
N 77.202870°
E 44.549560°		 ← 67.65 m →
4 573 m²		 N 77.202870°
E 44.552307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623752593994141 y=0.151767730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623752593994141 × 217)
    floor (0.623752593994141 × 131072)
    floor (81756.5)     		tx = 81756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151767730712891 × 217)
    floor (0.151767730712891 × 131072)
    floor (19892.5)     		ty = 19892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81756 / 19892 ti = "17/81756/19892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81756/19892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81756 ÷ 217
    81756 ÷ 131072     		x = 0.623748779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19892 ÷ 217
    19892 ÷ 131072     		y = 0.151763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623748779296875 × 2 - 1) × π
    0.24749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77753651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151763916015625 × 2 - 1) × π
    0.69647216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18803184625784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77753651} λ = 0.77753651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18803184625784))-π/2
    2×atan(8.91764453607315)-π/2
    2×1.45912561003784-π/2
    2.91825122007567-1.57079632675     		φ = 1.34745489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77753651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.549560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34745489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.203478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81756 KachelY 19892 0.77753651 1.34745489 44.549560 77.203478
    Oben rechts KachelX + 1 81757 KachelY 19892 0.77758445 1.34745489 44.552307 77.203478
    Unten links KachelX 81756 KachelY + 1 19893 0.77753651 1.34744428 44.549560 77.202870
    Unten rechts KachelX + 1 81757 KachelY + 1 19893 0.77758445 1.34744428 44.552307 77.202870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34745489-1.34744428) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dl = 67.5963100008474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34745489-1.34744428) × R
    1.0610000000133e-05 × 6371000     		dr = 67.5963100008474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77753651-0.77758445) × cos(1.34745489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221489298370468 × 6371000     		do = 67.6485328568366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77753651-0.77758445) × cos(1.34744428) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221499644835332 × 6371000     		du = 67.6516929335241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34745489)-sin(1.34744428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221489298370468-0.221499644835332)×R²
    abs(0.77758445-0.77753651)×1.03464648640306e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03464648640306e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03464648640306e-05×40589641000000     		ar = 4572.89800287647m²