Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81745 / 17104
↖ ↑ ↗
← N 78.793442°
E 44.519348°		 ← 59.35 m → N 78.793442°
E 44.522095°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.792909°
E 44.519348°		 ← 59.35 m →
3 520 m²		 N 78.792909°
E 44.522095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623668670654297 y=0.130496978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623668670654297 × 217)
    floor (0.623668670654297 × 131072)
    floor (81745.5)     		tx = 81745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130496978759766 × 217)
    floor (0.130496978759766 × 131072)
    floor (17104.5)     		ty = 17104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81745 / 17104 ti = "17/81745/17104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81745/17104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81745 ÷ 217
    81745 ÷ 131072     		x = 0.623664855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17104 ÷ 217
    17104 ÷ 131072     		y = 0.1304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623664855957031 × 2 - 1) × π
    0.247329711914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.77700921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1304931640625 × 2 - 1) × π
    0.739013671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32167992239856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77700921} λ = 0.77700921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32167992239856))-π/2
    2×atan(10.1927830158894)-π/2
    2×1.47300066424395-π/2
    2.9460013284879-1.57079632675     		φ = 1.37520500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77700921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.519348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37520500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.793442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81745 KachelY 17104 0.77700921 1.37520500 44.519348 78.793442
    Oben rechts KachelX + 1 81746 KachelY 17104 0.77705714 1.37520500 44.522095 78.793442
    Unten links KachelX 81745 KachelY + 1 17105 0.77700921 1.37519569 44.519348 78.792909
    Unten rechts KachelX + 1 81746 KachelY + 1 17105 0.77705714 1.37519569 44.522095 78.792909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37520500-1.37519569) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dl = 59.3140100002556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37520500-1.37519569) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dr = 59.3140100002556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77700921-0.77705714) × cos(1.37520500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194346620825772 × 6371000     		do = 59.3460786590344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77700921-0.77705714) × cos(1.37519569) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.194355753302822 × 6371000     		du = 59.3488673707654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37520500)-sin(1.37519569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194346620825772-0.194355753302822)×R²
    abs(0.77705714-0.77700921)×9.13247705033871e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.13247705033871e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.13247705033871e-06×40589641000000     		ar = 3520.13660800794m²