Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81739 / 17340
↖ ↑ ↗
← N 78.666767°
E 44.502868°		 ← 60.02 m → N 78.666767°
E 44.505615°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.666227°
E 44.502868°		 ← 60.02 m →
3 602 m²		 N 78.666227°
E 44.505615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623622894287109 y=0.132297515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623622894287109 × 217)
    floor (0.623622894287109 × 131072)
    floor (81739.5)     		tx = 81739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132297515869141 × 217)
    floor (0.132297515869141 × 131072)
    floor (17340.5)     		ty = 17340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81739 / 17340 ti = "17/81739/17340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81739/17340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81739 ÷ 217
    81739 ÷ 131072     		x = 0.623619079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17340 ÷ 217
    17340 ÷ 131072     		y = 0.132293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623619079589844 × 2 - 1) × π
    0.247238159179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.77672158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132293701171875 × 2 - 1) × π
    0.73541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31036681408823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77672158} λ = 0.77672158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31036681408823))-π/2
    2×atan(10.0781207737606)-π/2
    2×1.47189521047428-π/2
    2.94379042094855-1.57079632675     		φ = 1.37299409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77672158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.502868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37299409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.666767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81739 KachelY 17340 0.77672158 1.37299409 44.502868 78.666767
    Oben rechts KachelX + 1 81740 KachelY 17340 0.77676952 1.37299409 44.505615 78.666767
    Unten links KachelX 81739 KachelY + 1 17341 0.77672158 1.37298467 44.502868 78.666227
    Unten rechts KachelX + 1 81740 KachelY + 1 17341 0.77676952 1.37298467 44.505615 78.666227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37299409-1.37298467) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37299409-1.37298467) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77672158-0.77676952) × cos(1.37299409) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196514898463279 × 6371000     		do = 60.0207082841324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77672158-0.77676952) × cos(1.37298467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19652413477246 × 6371000     		du = 60.023529290699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37299409)-sin(1.37298467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196514898463279-0.19652413477246)×R²
    abs(0.77676952-0.77672158)×9.23630918139851e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.23630918139851e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.23630918139851e-06×40589641000000     		ar = 3602.21665506173m²