Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81736 / 17096
↖ ↑ ↗
← N 78.797712°
E 44.494629°		 ← 59.34 m → N 78.797712°
E 44.497375°		 →
↑
59.31 m
↓
↑
59.31 m
↓
N 78.797179°
E 44.494629°		 ← 59.34 m →
3 520 m²		 N 78.797179°
E 44.497375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623600006103516 y=0.130435943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623600006103516 × 217)
    floor (0.623600006103516 × 131072)
    floor (81736.5)     		tx = 81736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130435943603516 × 217)
    floor (0.130435943603516 × 131072)
    floor (17096.5)     		ty = 17096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81736 / 17096 ti = "17/81736/17096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81736/17096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81736 ÷ 217
    81736 ÷ 131072     		x = 0.62359619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17096 ÷ 217
    17096 ÷ 131072     		y = 0.13043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62359619140625 × 2 - 1) × π
    0.2471923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77657777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13043212890625 × 2 - 1) × π
    0.7391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32206341759552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77657777} λ = 0.77657777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32206341759552))-π/2
    2×atan(10.1966926488344)-π/2
    2×1.47303792273297-π/2
    2.94607584546594-1.57079632675     		φ = 1.37527952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77657777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.494629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37527952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.797712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81736 KachelY 17096 0.77657777 1.37527952 44.494629 78.797712
    Oben rechts KachelX + 1 81737 KachelY 17096 0.77662571 1.37527952 44.497375 78.797712
    Unten links KachelX 81736 KachelY + 1 17097 0.77657777 1.37527021 44.494629 78.797179
    Unten rechts KachelX + 1 81737 KachelY + 1 17097 0.77662571 1.37527021 44.497375 78.797179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37527952-1.37527021) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dl = 59.3140100002556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37527952-1.37527021) × R
    9.31000000004012e-06 × 6371000     		dr = 59.3140100002556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77657777-0.77662571) × cos(1.37527952) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194273521165113 × 6371000     		do = 59.3361339643588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77657777-0.77662571) × cos(1.37527021) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.194282653776975 × 6371000     		du = 59.338923299095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37527952)-sin(1.37527021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194273521165113-0.194282653776975)×R²
    abs(0.77662571-0.77657777)×9.13261186216707e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.13261186216707e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.13261186216707e-06×40589641000000     		ar = 3519.54676664044m²