Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81734 / 17340
↖ ↑ ↗
← N 78.666767°
E 44.489136°		 ← 60.02 m → N 78.666767°
E 44.491882°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.666227°
E 44.489136°		 ← 60.02 m →
3 602 m²		 N 78.666227°
E 44.491882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623584747314453 y=0.132297515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623584747314453 × 217)
    floor (0.623584747314453 × 131072)
    floor (81734.5)     		tx = 81734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132297515869141 × 217)
    floor (0.132297515869141 × 131072)
    floor (17340.5)     		ty = 17340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81734 / 17340 ti = "17/81734/17340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81734/17340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81734 ÷ 217
    81734 ÷ 131072     		x = 0.623580932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17340 ÷ 217
    17340 ÷ 131072     		y = 0.132293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623580932617188 × 2 - 1) × π
    0.247161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77648190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132293701171875 × 2 - 1) × π
    0.73541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31036681408823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77648190} λ = 0.77648190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31036681408823))-π/2
    2×atan(10.0781207737606)-π/2
    2×1.47189521047428-π/2
    2.94379042094855-1.57079632675     		φ = 1.37299409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77648190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.489136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37299409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.666767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81734 KachelY 17340 0.77648190 1.37299409 44.489136 78.666767
    Oben rechts KachelX + 1 81735 KachelY 17340 0.77652984 1.37299409 44.491882 78.666767
    Unten links KachelX 81734 KachelY + 1 17341 0.77648190 1.37298467 44.489136 78.666227
    Unten rechts KachelX + 1 81735 KachelY + 1 17341 0.77652984 1.37298467 44.491882 78.666227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37299409-1.37298467) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37299409-1.37298467) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77648190-0.77652984) × cos(1.37299409) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196514898463279 × 6371000     		do = 60.0207082842714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77648190-0.77652984) × cos(1.37298467) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.19652413477246 × 6371000     		du = 60.023529290838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37299409)-sin(1.37298467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196514898463279-0.19652413477246)×R²
    abs(0.77652984-0.77648190)×9.23630918139851e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.23630918139851e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.23630918139851e-06×40589641000000     		ar = 3602.21665507008m²