Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81730 / 19905
↖ ↑ ↗
← N 77.195567°
E 44.478149°		 ← 67.69 m → N 77.195567°
E 44.480896°		 →
↑
67.66 m
↓
↑
67.66 m
↓
N 77.194959°
E 44.478149°		 ← 67.69 m →
4 580 m²		 N 77.194959°
E 44.480896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623554229736328 y=0.151866912841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623554229736328 × 217)
    floor (0.623554229736328 × 131072)
    floor (81730.5)     		tx = 81730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151866912841797 × 217)
    floor (0.151866912841797 × 131072)
    floor (19905.5)     		ty = 19905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81730 / 19905 ti = "17/81730/19905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81730/19905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81730 ÷ 217
    81730 ÷ 131072     		x = 0.623550415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19905 ÷ 217
    19905 ÷ 131072     		y = 0.151863098144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623550415039062 × 2 - 1) × π
    0.247100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77629015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151863098144531 × 2 - 1) × π
    0.696273803710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.18740866656278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77629015} λ = 0.77629015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18740866656278))-π/2
    2×atan(8.91208897230756)-π/2
    2×1.45905657524819-π/2
    2.91811315049638-1.57079632675     		φ = 1.34731682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77629015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.478149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34731682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.195567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81730 KachelY 19905 0.77629015 1.34731682 44.478149 77.195567
    Oben rechts KachelX + 1 81731 KachelY 19905 0.77633809 1.34731682 44.480896 77.195567
    Unten links KachelX 81730 KachelY + 1 19906 0.77629015 1.34730620 44.478149 77.194959
    Unten rechts KachelX + 1 81731 KachelY + 1 19906 0.77633809 1.34730620 44.480896 77.194959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34731682-1.34730620) × R
    1.06200000000722e-05 × 6371000     		dl = 67.6600200004602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34731682-1.34730620) × R
    1.06200000000722e-05 × 6371000     		dr = 67.6600200004602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77629015-0.77633809) × cos(1.34731682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221623936986972 × 6371000     		do = 67.6896549559151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77629015-0.77633809) × cos(1.34730620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221634292878564 × 6371000     		du = 67.6928179117678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34731682)-sin(1.34730620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221623936986972-0.221634292878564)×R²
    abs(0.77633809-0.77629015)×1.0355891591679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0355891591679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0355891591679e-05×40589641000000     		ar = 4579.99041098139m²