Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81729 / 19906
↖ ↑ ↗
← N 77.194959°
E 44.475403°		 ← 67.68 m → N 77.194959°
E 44.478149°		 →
↑
67.72 m
↓
↑
67.72 m
↓
N 77.194350°
E 44.475403°		 ← 67.68 m →
4 584 m²		 N 77.194350°
E 44.478149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623546600341797 y=0.151874542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623546600341797 × 217)
    floor (0.623546600341797 × 131072)
    floor (81729.5)     		tx = 81729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151874542236328 × 217)
    floor (0.151874542236328 × 131072)
    floor (19906.5)     		ty = 19906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81729 / 19906 ti = "17/81729/19906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81729/19906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81729 ÷ 217
    81729 ÷ 131072     		x = 0.623542785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19906 ÷ 217
    19906 ÷ 131072     		y = 0.151870727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623542785644531 × 2 - 1) × π
    0.247085571289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.77624222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151870727539062 × 2 - 1) × π
    0.696258544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18736072966316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77624222} λ = 0.77624222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18736072966316))-π/2
    2×atan(8.91166176463267)-π/2
    2×1.45905126314191-π/2
    2.91810252628382-1.57079632675     		φ = 1.34730620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77624222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.475403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34730620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.194959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81729 KachelY 19906 0.77624222 1.34730620 44.475403 77.194959
    Oben rechts KachelX + 1 81730 KachelY 19906 0.77629015 1.34730620 44.478149 77.194959
    Unten links KachelX 81729 KachelY + 1 19907 0.77624222 1.34729557 44.475403 77.194350
    Unten rechts KachelX + 1 81730 KachelY + 1 19907 0.77629015 1.34729557 44.478149 77.194350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34730620-1.34729557) × R
    1.06300000000115e-05 × 6371000     		dl = 67.723730000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34730620-1.34729557) × R
    1.06300000000115e-05 × 6371000     		dr = 67.723730000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77624222-0.77629015) × cos(1.34730620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221634292878564 × 6371000     		do = 67.6786975910543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77624222-0.77629015) × cos(1.34729557) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.221644658496434 × 6371000     		du = 67.6818628571692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34730620)-sin(1.34729557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221634292878564-0.221644658496434)×R²
    abs(0.77629015-0.77624222)×1.03656178697675e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03656178697675e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03656178697675e-05×40589641000000     		ar = 4583.56102420406m²