Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81728 / 17349
↖ ↑ ↗
← N 78.661908°
E 44.472656°		 ← 60.05 m → N 78.661908°
E 44.475403°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.661368°
E 44.472656°		 ← 60.05 m →
3 604 m²		 N 78.661368°
E 44.475403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623538970947266 y=0.132366180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623538970947266 × 217)
    floor (0.623538970947266 × 131072)
    floor (81728.5)     		tx = 81728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132366180419922 × 217)
    floor (0.132366180419922 × 131072)
    floor (17349.5)     		ty = 17349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81728 / 17349 ti = "17/81728/17349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81728/17349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81728 ÷ 217
    81728 ÷ 131072     		x = 0.62353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17349 ÷ 217
    17349 ÷ 131072     		y = 0.132362365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62353515625 × 2 - 1) × π
    0.2470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77619428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132362365722656 × 2 - 1) × π
    0.735275268554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.30993538199165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77619428} λ = 0.77619428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30993538199165))-π/2
    2×atan(10.0737736867894)-π/2
    2×1.47185281009042-π/2
    2.94370562018083-1.57079632675     		φ = 1.37290929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77619428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.472656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37290929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.661908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81728 KachelY 17349 0.77619428 1.37290929 44.472656 78.661908
    Oben rechts KachelX + 1 81729 KachelY 17349 0.77624222 1.37290929 44.475403 78.661908
    Unten links KachelX 81728 KachelY + 1 17350 0.77619428 1.37289987 44.472656 78.661368
    Unten rechts KachelX + 1 81729 KachelY + 1 17350 0.77624222 1.37289987 44.475403 78.661368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37290929-1.37289987) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37290929-1.37289987) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77619428-0.77624222) × cos(1.37290929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196598044227727 × 6371000     		do = 60.0461031407669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77619428-0.77624222) × cos(1.37289987) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196607280379892 × 6371000     		du = 60.0489240993767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37290929)-sin(1.37289987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196598044227727-0.196607280379892)×R²
    abs(0.77624222-0.77619428)×9.23615216524842e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.23615216524842e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.23615216524842e-06×40589641000000     		ar = 3603.74072138477m²