Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81726 / 17359
↖ ↑ ↗
← N 78.656507°
E 44.467163°		 ← 60.07 m → N 78.656507°
E 44.469910°		 →
↑
60.08 m
↓
↑
60.08 m
↓
N 78.655967°
E 44.467163°		 ← 60.08 m →
3 609 m²		 N 78.655967°
E 44.469910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623523712158203 y=0.132442474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623523712158203 × 217)
    floor (0.623523712158203 × 131072)
    floor (81726.5)     		tx = 81726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132442474365234 × 217)
    floor (0.132442474365234 × 131072)
    floor (17359.5)     		ty = 17359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81726 / 17359 ti = "17/81726/17359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81726/17359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81726 ÷ 217
    81726 ÷ 131072     		x = 0.623519897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17359 ÷ 217
    17359 ÷ 131072     		y = 0.132438659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623519897460938 × 2 - 1) × π
    0.247039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77609840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132438659667969 × 2 - 1) × π
    0.735122680664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.30945601299545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77609840} λ = 0.77609840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30945601299545))-π/2
    2×atan(10.0689457892739)-π/2
    2×1.47180567751211-π/2
    2.94361135502422-1.57079632675     		φ = 1.37281503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77609840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.467163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37281503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.656507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81726 KachelY 17359 0.77609840 1.37281503 44.467163 78.656507
    Oben rechts KachelX + 1 81727 KachelY 17359 0.77614634 1.37281503 44.469910 78.656507
    Unten links KachelX 81726 KachelY + 1 17360 0.77609840 1.37280560 44.467163 78.655967
    Unten rechts KachelX + 1 81727 KachelY + 1 17360 0.77614634 1.37280560 44.469910 78.655967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37281503-1.37280560) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dl = 60.0785299998532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37281503-1.37280560) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dr = 60.0785299998532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77609840-0.77614634) × cos(1.37281503) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196690463792139 × 6371000     		do = 60.0743304547571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77609840-0.77614634) × cos(1.37280560) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196699709574332 × 6371000     		du = 60.0771543546252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37281503)-sin(1.37280560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196690463792139-0.196699709574332)×R²
    abs(0.77614634-0.77609840)×9.24578219274608e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.24578219274608e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.24578219274608e-06×40589641000000     		ar = 3609.26229231535m²