Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81721 / 17367
↖ ↑ ↗
← N 78.652184°
E 44.453430°		 ← 60.10 m → N 78.652184°
E 44.456177°		 →
↑
60.08 m
↓
↑
60.08 m
↓
N 78.651644°
E 44.453430°		 ← 60.10 m →
3 611 m²		 N 78.651644°
E 44.456177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623485565185547 y=0.132503509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623485565185547 × 217)
    floor (0.623485565185547 × 131072)
    floor (81721.5)     		tx = 81721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132503509521484 × 217)
    floor (0.132503509521484 × 131072)
    floor (17367.5)     		ty = 17367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81721 / 17367 ti = "17/81721/17367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81721/17367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81721 ÷ 217
    81721 ÷ 131072     		x = 0.623481750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17367 ÷ 217
    17367 ÷ 131072     		y = 0.132499694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623481750488281 × 2 - 1) × π
    0.246963500976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77585872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132499694824219 × 2 - 1) × π
    0.735000610351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.30907251779848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77585872} λ = 0.77585872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30907251779848))-π/2
    2×atan(10.0650851372433)-π/2
    2×1.47176795549637-π/2
    2.94353591099274-1.57079632675     		φ = 1.37273958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77585872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.453430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37273958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.652184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81721 KachelY 17367 0.77585872 1.37273958 44.453430 78.652184
    Oben rechts KachelX + 1 81722 KachelY 17367 0.77590666 1.37273958 44.456177 78.652184
    Unten links KachelX 81721 KachelY + 1 17368 0.77585872 1.37273015 44.453430 78.651644
    Unten rechts KachelX + 1 81722 KachelY + 1 17368 0.77590666 1.37273015 44.456177 78.651644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37273958-1.37273015) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dl = 60.0785299998532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37273958-1.37273015) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dr = 60.0785299998532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77585872-0.77590666) × cos(1.37273958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196764439364381 × 6371000     		do = 60.0969244985119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77585872-0.77590666) × cos(1.37273015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1967736850066 × 6371000     		du = 60.0997483556284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37273958)-sin(1.37273015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196764439364381-0.1967736850066)×R²
    abs(0.77590666-0.77585872)×9.24564221913005e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.24564221913005e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.24564221913005e-06×40589641000000     		ar = 3610.61970818331m²