Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81721 / 17127
↖ ↑ ↗
← N 78.781159°
E 44.453430°		 ← 59.42 m → N 78.781159°
E 44.456177°		 →
↑
59.44 m
↓
↑
59.44 m
↓
N 78.780624°
E 44.453430°		 ← 59.43 m →
3 532 m²		 N 78.780624°
E 44.456177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623485565185547 y=0.130672454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623485565185547 × 217)
    floor (0.623485565185547 × 131072)
    floor (81721.5)     		tx = 81721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130672454833984 × 217)
    floor (0.130672454833984 × 131072)
    floor (17127.5)     		ty = 17127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81721 / 17127 ti = "17/81721/17127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81721/17127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81721 ÷ 217
    81721 ÷ 131072     		x = 0.623481750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17127 ÷ 217
    17127 ÷ 131072     		y = 0.130668640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623481750488281 × 2 - 1) × π
    0.246963500976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77585872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130668640136719 × 2 - 1) × π
    0.738662719726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.3205773737073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77585872} λ = 0.77585872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3205773737073))-π/2
    2×atan(10.1815511692816)-π/2
    2×1.47289346798213-π/2
    2.94578693596425-1.57079632675     		φ = 1.37499061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77585872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.453430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37499061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.781159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81721 KachelY 17127 0.77585872 1.37499061 44.453430 78.781159
    Oben rechts KachelX + 1 81722 KachelY 17127 0.77590666 1.37499061 44.456177 78.781159
    Unten links KachelX 81721 KachelY + 1 17128 0.77585872 1.37498128 44.453430 78.780624
    Unten rechts KachelX + 1 81722 KachelY + 1 17128 0.77590666 1.37498128 44.456177 78.780624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37499061-1.37498128) × R
    9.32999999991857e-06 × 6371000     		dl = 59.4414299994812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37499061-1.37498128) × R
    9.32999999991857e-06 × 6371000     		dr = 59.4414299994812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77585872-0.77590666) × cos(1.37499061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194556918566216 × 6371000     		do = 59.4226908251672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77585872-0.77590666) × cos(1.37498128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194566070272925 × 6371000     		du = 59.4254859919612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37499061)-sin(1.37498128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194556918566216-0.194566070272925)×R²
    abs(0.77590666-0.77585872)×9.15170670937049e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.15170670937049e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.15170670937049e-06×40589641000000     		ar = 3532.25279155463m²