Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81715 / 17240
↖ ↑ ↗
← N 78.720615°
E 44.436951°		 ← 59.74 m → N 78.720615°
E 44.439698°		 →
↑
59.76 m
↓
↑
59.76 m
↓
N 78.720078°
E 44.436951°		 ← 59.74 m →
3 570 m²		 N 78.720078°
E 44.439698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623439788818359 y=0.131534576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623439788818359 × 217)
    floor (0.623439788818359 × 131072)
    floor (81715.5)     		tx = 81715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131534576416016 × 217)
    floor (0.131534576416016 × 131072)
    floor (17240.5)     		ty = 17240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81715 / 17240 ti = "17/81715/17240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81715/17240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81715 ÷ 217
    81715 ÷ 131072     		x = 0.623435974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17240 ÷ 217
    17240 ÷ 131072     		y = 0.13153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623435974121094 × 2 - 1) × π
    0.246871948242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77557110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13153076171875 × 2 - 1) × π
    0.7369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31516050405023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77557110} λ = 0.77557110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31516050405023))-π/2
    2×atan(10.1265481403039)-π/2
    2×1.47236512093748-π/2
    2.94473024187496-1.57079632675     		φ = 1.37393392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77557110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.436951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37393392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.720615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81715 KachelY 17240 0.77557110 1.37393392 44.436951 78.720615
    Oben rechts KachelX + 1 81716 KachelY 17240 0.77561904 1.37393392 44.439698 78.720615
    Unten links KachelX 81715 KachelY + 1 17241 0.77557110 1.37392454 44.436951 78.720078
    Unten rechts KachelX + 1 81716 KachelY + 1 17241 0.77561904 1.37392454 44.439698 78.720078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37393392-1.37392454) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dl = 59.7599800003745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37393392-1.37392454) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dr = 59.7599800003745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77557110-0.77561904) × cos(1.37393392) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.19559330770683 × 6371000     		do = 59.7392307455054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77557110-0.77561904) × cos(1.37392454) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.195602506524428 × 6371000     		du = 59.7420403011774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37393392)-sin(1.37392454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19559330770683-0.195602506524428)×R²
    abs(0.77561904-0.77557110)×9.19881759803287e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.19881759803287e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.19881759803287e-06×40589641000000     		ar = 3570.09918414353m²