Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81709 / 17241
↖ ↑ ↗
← N 78.720078°
E 44.420471°		 ← 59.73 m → N 78.720078°
E 44.423218°		 →
↑
59.76 m
↓
↑
59.76 m
↓
N 78.719540°
E 44.420471°		 ← 59.73 m →
3 570 m²		 N 78.719540°
E 44.423218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623394012451172 y=0.131542205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623394012451172 × 217)
    floor (0.623394012451172 × 131072)
    floor (81709.5)     		tx = 81709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131542205810547 × 217)
    floor (0.131542205810547 × 131072)
    floor (17241.5)     		ty = 17241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81709 / 17241 ti = "17/81709/17241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81709/17241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81709 ÷ 217
    81709 ÷ 131072     		x = 0.623390197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17241 ÷ 217
    17241 ÷ 131072     		y = 0.131538391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623390197753906 × 2 - 1) × π
    0.246780395507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.77528348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131538391113281 × 2 - 1) × π
    0.736923217773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.31511256715061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77528348} λ = 0.77528348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31511256715061))-π/2
    2×atan(10.1260627166171)-π/2
    2×1.47236043275879-π/2
    2.94472086551758-1.57079632675     		φ = 1.37392454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77528348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.420471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37392454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.720078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81709 KachelY 17241 0.77528348 1.37392454 44.420471 78.720078
    Oben rechts KachelX + 1 81710 KachelY 17241 0.77533141 1.37392454 44.423218 78.720078
    Unten links KachelX 81709 KachelY + 1 17242 0.77528348 1.37391516 44.420471 78.719540
    Unten rechts KachelX + 1 81710 KachelY + 1 17242 0.77533141 1.37391516 44.423218 78.719540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37392454-1.37391516) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dl = 59.7599800003745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37392454-1.37391516) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dr = 59.7599800003745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77528348-0.77533141) × cos(1.37392454) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195602506524428 × 6371000     		do = 59.7295784654241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77528348-0.77533141) × cos(1.37391516) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.195611705324816 × 6371000     		du = 59.7323874297842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37392454)-sin(1.37391516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195602506524428-0.195611705324816)×R²
    abs(0.77533141-0.77528348)×9.19880038807719e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.19880038807719e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.19880038807719e-06×40589641000000     		ar = 3569.5223464879m²