Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81707 / 17342
↖ ↑ ↗
← N 78.665687°
E 44.414978°		 ← 60.03 m → N 78.665687°
E 44.417725°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.665147°
E 44.414978°		 ← 60.03 m →
3 603 m²		 N 78.665147°
E 44.417725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623378753662109 y=0.132312774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623378753662109 × 217)
    floor (0.623378753662109 × 131072)
    floor (81707.5)     		tx = 81707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132312774658203 × 217)
    floor (0.132312774658203 × 131072)
    floor (17342.5)     		ty = 17342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81707 / 17342 ti = "17/81707/17342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81707/17342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81707 ÷ 217
    81707 ÷ 131072     		x = 0.623374938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17342 ÷ 217
    17342 ÷ 131072     		y = 0.132308959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623374938964844 × 2 - 1) × π
    0.246749877929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.77518760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132308959960938 × 2 - 1) × π
    0.735382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31027094028899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77518760} λ = 0.77518760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31027094028899))-π/2
    2×atan(10.0771545923493)-π/2
    2×1.47188578971672-π/2
    2.94377157943344-1.57079632675     		φ = 1.37297525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77518760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.414978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37297525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.665687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81707 KachelY 17342 0.77518760 1.37297525 44.414978 78.665687
    Oben rechts KachelX + 1 81708 KachelY 17342 0.77523554 1.37297525 44.417725 78.665687
    Unten links KachelX 81707 KachelY + 1 17343 0.77518760 1.37296583 44.414978 78.665147
    Unten rechts KachelX + 1 81708 KachelY + 1 17343 0.77523554 1.37296583 44.417725 78.665147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37297525-1.37296583) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37297525-1.37296583) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77518760-0.77523554) × cos(1.37297525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196533371064202 × 6371000     		do = 60.0263502919393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77518760-0.77523554) × cos(1.37296583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196542607338505 × 6371000     		du = 60.0291712878531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37297525)-sin(1.37296583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196533371064202-0.196542607338505)×R²
    abs(0.77523554-0.77518760)×9.23627430288176e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.23627430288176e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.23627430288176e-06×40589641000000     		ar = 3602.55525874238m²