Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81706 / 20343
↖ ↑ ↗
← N 76.926206°
E 44.412232°		 ← 69.07 m → N 76.926206°
E 44.414978°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.925585°
E 44.412232°		 ← 69.08 m →
4 771 m²		 N 76.925585°
E 44.414978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623371124267578 y=0.155208587646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623371124267578 × 217)
    floor (0.623371124267578 × 131072)
    floor (81706.5)     		tx = 81706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155208587646484 × 217)
    floor (0.155208587646484 × 131072)
    floor (20343.5)     		ty = 20343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81706 / 20343 ti = "17/81706/20343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81706/20343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81706 ÷ 217
    81706 ÷ 131072     		x = 0.623367309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20343 ÷ 217
    20343 ÷ 131072     		y = 0.155204772949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623367309570312 × 2 - 1) × π
    0.246734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77513967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155204772949219 × 2 - 1) × π
    0.689590454101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.1664123045292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77513967} λ = 0.77513967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1664123045292))-π/2
    2×atan(8.72691828379178)-π/2
    2×1.45670595414055-π/2
    2.91341190828111-1.57079632675     		φ = 1.34261558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77513967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.412232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34261558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.926206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81706 KachelY 20343 0.77513967 1.34261558 44.412232 76.926206
    Oben rechts KachelX + 1 81707 KachelY 20343 0.77518760 1.34261558 44.414978 76.926206
    Unten links KachelX 81706 KachelY + 1 20344 0.77513967 1.34260474 44.412232 76.925585
    Unten rechts KachelX + 1 81707 KachelY + 1 20344 0.77518760 1.34260474 44.414978 76.925585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34261558-1.34260474) × R
    1.08399999998454e-05 × 6371000     		dl = 69.0616399990152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34261558-1.34260474) × R
    1.08399999998454e-05 × 6371000     		dr = 69.0616399990152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77513967-0.77518760) × cos(1.34261558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226205801535997 × 6371000     		do = 69.0746627548516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77513967-0.77518760) × cos(1.34260474) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226216360544837 × 6371000     		du = 69.0778870752258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34261558)-sin(1.34260474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226205801535997-0.226216360544837)×R²
    abs(0.77518760-0.77513967)×1.05590088401164e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05590088401164e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05590088401164e-05×40589641000000     		ar = 4770.52083066174m²